Exercícios de Análise Combinatória para Enem e Vestibular

Análise Combinatória, seu estudo é demasiado importante para a sociedade. Sendo a parte da Matemática que estuda o número de possibilidade de ocorrência de um determinado acontecimento, que chamaremos de evento, sem, necessariamente, descrever as possibilidades.

Este assunto é considerado difícil por muitos estudantes, pois segundo os próprios é necessário ter uma certa habilidade na interpretação do problemas para solucioná-los.

Aprendendo Análise Combinatória

A base para aprender Análise Combinatória é compreender o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo. Este princípio mostra-nos um método para determinar o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento sem precisarmos descrever todas as possibilidades.

Veja, com 3 homens e 4 mulheres, quantas casais (homem-mulher) podemos formar? Para solucionar este problema, vamos enumerar os homens e mulheres conforme o seguinte:

Homens = { h1, h2, h3 } e Mulheres = { m1, m2, m3, m4 }

Formando os casais:

(h1,m1), (h1,m2), (h1,m3), (h1,m4)

(h2,m1), (h2,m2), (h2,m3), (h2,m4)

(h3,m1), (h3,m2), (h3,m3), (h3,m4)

Observe que temos um total de 12 casais, “contamos” todas as possibilidades de formação de um casal.

De modo mais geral, o princípio multiplicativo diz o seguinte:

“Se uma decisão X pode ser tomada de n modos e se, uma vez tomada a decisão X, a decisão Y puder ser tomada de m maneiras então o número de maneiras de se tomarem as decisões X e Y é de n.m.”

Baseado na obra: Análise Combinatória e Probabilidade de Augusto César de O. Morgado e Outros.

No exemplo acima, temos que nossa primeira decisão pode ser a escolha do homem e podemos fazer isso de 3 modos, a segunda decisão é a escolha da mulher, que pode ser feita de 4 modos. Portanto, pelo principío multiplicativo, formaremos

3.4 = 12 casais.

O descrito acima, é só uma introdução do assunto, tem muito mais! Será necessário aprender dentro da Análise os seguintes tópicos:

– Fatorial
– Combinações
– Permutações
– Binômio de Newton

O listado acima é suficiente para ter condições de participar da maioria dos concursos.

Dicas para Resolução de Problemas

Na obra mencionada acima, os autores, recomendam que

– na resolução de problemas, não adie pequenas dificuldades, pois estas podem se transformar em grandes dificuldades.
– Se alguma decisão é mais complicada que as demais, ela deve ser tomada em primeiro lugar. Para exemplificar está dica, observe o exemplo que se segue.

Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?

Para responder a esta pergunta, temos a tomar três decisões: a escolha do primeiro algarismo, a do segundo e terceiro algarismos. Não necessariamente precisamos tomar as decisões nesta ordem.

Caso não tenha entendido a pergunta, o problema deseja saber quantos números três algarismos podemos formar utilizando 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Como exemplo o número 237, é um número formado por três algarismos distintos.

Voltando para a resolução.

Por exemplo, 052 não pode ser considerado um número de três algarismo, pois temos o zero a esquerda. Logo, a decisão mais problemática é a escolha do primeiro algarismo que só poderá ser feita de 9 modos (zero não entra).

Já para o segundo algarismo (2ª decisão), também temos 9 modos, pois o zero agora poderá entrar como algarismo e já escolhemos um algarismo com primeiro (8 + 1 “zero”) e este não pode fazer parte, pois devemos ter algarismos distintos.

E para terceira decisão, temos apenas 8 modos, estamos excluíndo os outros dois algarismos já escolhidos.

A resposta seria 9 x 9 x 8 = 648 números de três algarismos distintos.

Poderíamos também começar pelo último algarismo, isto é, de quantos modos podemos escolher o último algarismo? Deixo para você pensar na resolução, seguindo este caminho, mas acredite a decisão mais problemática deve ser tomada primeiro e neste caso foi a escolha do primeiro algarismo.

Conclusão

A análise Combinatória é um assunto muito cobrado em concursos, aparece muita das vezes como em raciocínio lógico, portanto sua aprendizagem é necessária para aqueles que desejam participar de concursos, onde a Matemática se faz necessária.

Inicie seus estudos pelo principio fundamental da contagem, com problemas simples de fácil resolução, procure por vários exemplos.

Após aprender o conteúdo de Análise Combinatória, procure aprender sobre Probabilidade e Estatística, pois também são assuntos importantes para determinados concursos.

Siga as dicas acima sobre resolução de problemas e sinceramente, jamais adie decisões problemáticas não só em Análise Combinatória, mas aplique este princípio em sua vida!

Agora clique aqui e baixe a lista de exercícios resolvida passo a passo.

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Criado pelo Prof. Amintas Paiva Afonso, o site Matematiquês é voltado para o ensino de Matemática do fundamental ao superior. Você encontrará uma gama de material, desde teoria a listas de exercícios. No Matematiquês o Prof. Amintas acaba com certos paradigmas criados no ensino da Matemática. Vale a pena acessar o site e aprender um pouco mais! Para acessar o site, clique no link abaixo.

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Tenham um bom estudo, se surgir alguma dúvida, pode comentar abaixo caso queira!

16 Comentários


  1. Professor Thieres, seria interessante estudos sobre combinações , probabilidades e estatística para concursos. Obrigado!

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  2. Olá, boa tarde!
    Primeiramente gostaria de agradecer imensamente a ajuda que tem me dado com todas as dicas, teorias e exercícios que você disponibiliza no site. Tem me ajudado muito, pois sempre tive muita dificuldade em matemática e agora estou tendo que aprender do básico para conseguir resolver problemas maiores, muito obrigada mesmo. Admiro muito seu trabalho, com certeza ajuda muitas pessoas que se encontram na mesma situação que eu.
    Gostaria de fazer exercícios de análise combinatória para absorver melhor o que foi explicado, mas não consigo abrir o link que diz: Agora clique aqui e baixe a lista de exercícios resolvida passo a passo.
    Você poderia me passar por e-mail?!
    Desde já, obrigada!

    Responder

    1. Oi Winnie, como vai? Agradecemos gentilmente sua palavras. Elas nos motiva a continuar firme em desenvolver cada vez mais conteúdo de qualidade.

      Sobre a lista, ela foi retirada, pois não estava de acordo com a normas do blog. Em breve, organizaremos mais execícios sobre o tema. Continue acompanhando o blog, ok? Abraço!

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  3. Parabéns pela iniciativa,estou achando fantasístico cada dica ,pois para mim matemática sempre foi um pesadelo mais com suas dicas resolvi enfrentar e acredito que eu também posso aprender !Obrigado mesmo ficar com Deus!

    Responder

    1. É isso aí, Elizangela, qualquer um pode aprender Matemática. Siga em frente e conte conosco. Valeu pela visita. Tudo de bom!

      Responder

  4. parabens pelo site e muito bom pra quem esta tentando voltar a estudar, que é o meu caso. os assuntos são muito bem explicados. e com a resolução dos exercícios fic bem mais fácil compreender. Obrigado e parabéns.

    Responder

    1. Oi Jadson, muito obrigado pelos elogios. Desejamos que o blog te ajude de fato a conquistar seus objetivos. Dúvidas sobre algum artigo, fique a vontade para comentar, ok? Abraço.

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  5. boa tarde, estou adorando este site, parabéns!!!!
    Minha dúvida é que no exemplo acima a resposta 9.9.8, tem 2 números 9 e pelo que entendi os números não deveriam ser distintos?obrigada….’)

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    1. Patrícia,

      o número deve ter 3 algarismos, certo?
      O 0 não pode entrar na primeira posição (esquerda para direita), então só ha 9 algarismos para esta posição.

      Na segunda posição, teríamos somente 8 (devem ser distintos), mas nesta posição o 0 pode entrar, antes excluído da primeira. Então, temos 8 algarismos (pois o que entrou na primeira não pode entrar nesta posição) mais o 0, total 9 algarismos possíveis para a segunda posição.

      Leia novamente a explicação da resolução no texto. Se ainda tiver dúvida, comente.

      Tudo de bom!

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  6. Bom dia. Porque não se comenta muito do princípio aditivo? Ele não é importante?

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    1. José Ricardo,

      o princípio aditivo é importante, porém por si só ele resolve uma gama muito pequena de situações (problemas). Utilizando o princípio aditivo com o multiplicativo torna este mais “avançado”. Não sei sobre sua “bagagem” teórica com relação a este assunto, mas peço humildemente licença para descrever um pouco sobre este assunto.

      Enunciando o princípio aditivo, temos:

      “Se uma decisão d1 pode ser tomada de x modos, a decisão d2 ser tomada de y modos e as decisões são independentes, então o número de modos de se tomarem as decisões d1 ou d2 é x + y.

      Prestou atenção no “ou”? Veja um exemplo: digamos que você vai a uma papelaria para comprar lápis e borracha com R$ 1,00. Existem 3 tipos de lápis e 2 tipos de borrachas (ambos os tipos diferentes). Você verifica que o preço de cada lápis e cada borracha é o mesmo, R$ 1,00.

      Desta maneira, só dá pra comprar um lápis ou uma borracha. Existem 5 elementos e você só pode escolher um, portanto a 5 modos de fazer a compra (3 + 2 = 5).

      Quando dizemos que as decisões são independentes, queremos dizer que cada decisão não implica em uma restrição na outra. Deve-se tomar a decisão d1 ou d2, de acordo com a generalização do enunciado acima, logo devemos escolher uma dentre as x + y decisões, que fazemos de x + y modos.

      Perceba a diferença com o primeiro exemplo, acima no artigo, com o princípio multiplicativo no problema dos casais (homem-mulher), as decisões não são independentes, pois a escolha da mulher depende da escolha do homem ou vice-versa, mas combinamos com o principio aditivo no momento em que somamos todos os pares possíveis.

      Bem, agradeço sua visita e seu comentário, pois enriquece o artigo. Caso tenha ainda dúvidas ou deixar algum outro comentário sobre, fique a vontade.

      Tudo de bom!

      Responder

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