Questões de Concursos Resolvidas da Fundação Getúlio Vargas

questões resolvidas da fundação getúlio vargas

Uma etapa muito importante na preparação de um candidato para realizar uma prova ou concurso é a prática de exercícios.

Só estudar a teoria não é suficiente. É através da prática que o estudante vivenciará situações semelhantes ao dia da prova.

Estudar por questões anteriores é uma ótima estratégia para compreender o estilo próprio da banca organizadora, isto é, sua “maneira de elaborar perguntas”.

Como de costume, preparamos para você mais uma série de questões de concursos resolvidas.

Nesse artigo, temos questões resolvidas da Fundação Getúlio Vargas (FGV). Uma das principais bancas organizadoras de concursos do país.

A Revista Exame elaborou um artigo sobre o perfil das principais bancas organizadoras de concursos e nele você vai encontrar algumas dicas sobre a FGV.

Bem, mas quais assuntos abordamos nas questões?

Os temas que procuramos abordar (selecionamos) nas questões de Matemática são os mais cobrados em concursos.

Caso você tenha interesse em saber quais são os principais assuntos de Matemática para concursos, basta ler aqui.

Você vai encontrar logo abaixo questões resolvidas da Fundação Getúlio Vargas sobre os seguintes tópicos:

  • Divisão proporcional
  • Área de figuras planas (triângulo)
  • Análise combinatória
  • Progressão aritmética
  • Probabilidade

É claro que você precisará saber um pouco mais do que os tópicos mencionados acima.

Dominar os temas fundamentais da Matemática necessários para o desenvolvimento dos mencionados acima, vai facilitar muito sua aprendizagem.

Agora é hora de começar a praticar!

Veja logo abaixo os enunciados das questões e em seguida, as respectivas resoluções.

Enunciados das Questões de Concursos da Fundação Getúlio Vargas

1. Três grandezas A, B e C, são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional ao quadrado de C. Quando B = 6 e C = 3 tem-se A = 1. Quando A = 3 e C = 2, o valor de B é:

A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8

2. Considere que um pedaço de papel, pautado de um lado apenas, com a forma de um triângulo retângulo cujos catetos são iguais e medem 8 cm cada, tenha sido dobrado como mostra a figura.

imagem-triangulo-questao2-fvg

Sabendo-se que a linha da dobra e a linha da base do papel são paralelas, pode-se concluir que a área pautada visível é de:

A) 8 cm²
B) 16 cm²
C) 24 cm²
D) 32 cm²
E) 64 cm²

3.Uma empresa identifica seus bens permanentes com etiquetas que contém um código composto de duas letras (das vinte e seis do alfabeto) seguidas de dois algarismos. O número de bens permanentes que podem ser identificados da forma descrita é

A) menor do que 40.000
B) maior do que 40.000 e menor do que 50.000
C) maior do que 50.000 e menor do que 60.000
D) maior do que 60.000 e menor do que 70.000
E) maior do que 70.000

4. Ana e Bia inventaram uma brincadeira de contar. Ana começou em 40 e cada novo número tinha 3 unidades a mais do que o anterior. Por sua vez, Bia começou em 1 e cada novo número tinha 4 unidades a mais do que o anterior.

imagem-questao4-fvg

Elas começaram juntas e diziam cada novo número ao mesmo tempo. Em certo momento elas disseram o mesmo número. Esse número foi:

A) 161
B) 160
C) 157
D) 154
E) 153

5. Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8, 9}. São escolhidos ao acaso um número do conjunto A e um número do conjunto B e o produto desses números é calculado. A probabilidade de que esse produto seja um número par é:

A) 60%
B) 64%
C) 67%
D) 72%
E) 76%

Soluções das Questões de Concursos da Fundação Getúlio Vargas

Questão 1.

Essa questão envolve o conceito de divisão proporcional. Em particular, temos grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

Caso você ainda não tenha nenhum conhecimento sobre esse assunto, comece por estudar o artigo sobre divisão em partes proporcionais.

O primeiro ponto que devemos observar é que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional ao quadrado de C, isto é, C².

Observe também que se tal proporcionalidade acontece, existe uma constante k (um número) comum (diferente de zero), tal que:

quando multiplicamos essa constante k por B e pelo inverso de C² (1/C²), temos como resultado A.

\displaystyle {\sf A=k}\times {\sf B}\times \frac{\sf 1}{{{\sf C}^{2}}}

Veja acima, a constante k multiplicada por B (diretamente proporcional) e pelo inverso de C² (inversamente proporcional).

A multiplicação vem da regra prática quando temos uma grandeza variável diretamente proporcional a certas grandezas e inversamente proporcional a outras grandezas.

Não iremos demonstrar aqui tal regra, pois nosso objetivo é a sua aplicação direta.

Repare que na expressão e de acordo com o enunciado, temos o valor de A, B e C para uma primeira situação (A = 1, B = 6 e C = 3).

Vamos então substituir os valores na expressão:

\displaystyle {\sf 1=k}\times {\sf 6}\times \frac{\sf 1}{{{\sf 3}^{2}}}

\displaystyle {\sf 1=}\frac{\sf 6k}{\sf 9}\Leftrightarrow {\sf 6k=9}\Leftrightarrow {\sf k=}\frac{{{\sf 9}^{\div 3}}}{{{\sf 6}^{\div 3}}}\Leftrightarrow {\sf k=}\frac{\sf 3}{\sf 2}\cdot

Veja, acabamos de encontrar o valor de k que vai nos ajudar a encontrar o valor de B para a segunda situação, isto é, A = 3, C = 2 e B = ?

Novamente, vamos substituir os valores na expressão, mas agora, o valor procurado é o de B, mas temos o valor de k = 3/2.

\displaystyle {\sf 3=}\frac{\sf 3}{\sf 2}\times {\sf B}\times \frac{\sf 1}{{{\sf 2}^{2}}}\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow {\sf 3=}\frac{\sf 3}{\sf 2}\times {\sf B}\times \frac{\sf 1}{\sf 4}\Leftrightarrow {\sf 3=}\frac{\sf 3B}{\sf 8}\Leftrightarrow {\sf 3B=24}\Leftrightarrow {\sf B=8.}

Portanto, o valor de B é 8.

Questão 2.

Nessa questão, vamos trabalhar basicamente com área de triângulo.

Nesse artigo aqui você aprende um pouco mais sobre triângulos e ainda encontra exercícios sobre o tema.

Mas antes precisamos determinar algumas medidas que não estão explícitas no problema.

Para isso precisamos ter conhecimento de outras áreas da Matemática. No caso, retas paralelas cortadas por uma transversal e as propriedades que surgem como consequência.

Logo abaixo, elaboramos figuras para facilitar o seu entendimento e em seguida, explicamos.

imagem-a-triangulo-solucao-questao2-fvg             imagem-b-triangulo-solucao-questao2-fvg

A primeira figura (esquerda) representa as informações do problema.

Um triângulo retângulo (um ângulo reto) com catetos iguais, medindo cada 8 cm. Como as medidas dos lados são iguais, o triângulo também é isósceles.

Sendo isósceles, os ângulos internos da base são iguais, pois se a soma dos ângulos internos é igual a 180º e um ângulo é reto (90º), os demais medem:

180º – 90º = 90º e 90°/2 = 45º.

A segunda figura (direita) representa o triângulo já dobrado e com algumas informações para ajudar na resolução, acompanhe o raciocínio a seguir.

A linha da dobra (FC) e a linha da base do papel (GB) são paralelas e essa é uma informação muito importante, nosso raciocínio partirá desse ponto.

Ambas as linhas (FC e GB) são paralelas e o triângulo (esquerda) é isósceles, logo o ponto A que representa o vértice do ângulo reto do primeiro triângulo é o ponto médio do lado GB (figura direita).

Ao ser dobrado, o vértice do triângulo (esquerda) “cai” exatamente sobre o ponto A (médio de GB).

É claro que existe um explicação mais detalhada para tal situação, fazendo uso da demonstração matemática e propriedades geométricas.

Mas, acreditamos que você é capaz de intuir tal fato e por isso não iremos aprofundar nesse ponto.

O ângulo CAF = 90º, pois é oposto pelo vértice ao ângulo reto do primeiro triângulo (esquerda).

Lembre-se da retas paralelas!

Os ângulos EGB e EFC são correspondentes, isto é, possuem a mesma medida, 45º.

Como temos uma dobra, o ângulo EFC é “refletido” em CFA com a mesma medida, 45º.

Veja na figura (direita)!

O mesmo vale para o outro lado.

ABD e FCD são correspondentes e medem 45º.

Novamente, como temos a dobra, o ângulo FCD é “refletido” em ACF, cuja medida é 45º.

Observe agora as retas paralelas (GB e FC) e as transversais AF e AC que são lados dos triângulos (AFG e ABC) formados a partir da dobra.

Os ângulos FAG e CFA são alternos internos e por isso congruentes (mesma medida).

Como CFA mede 45º, então FAG também mede 45º.

O raciocínio idêntico serve para o outro lado.

Os ângulos BAC e ACF são alternos internos, logo congruentes (mesma medida).

Como ACF mede 45º, o ângulo BAC tem a mesma medida, 45º.

Observe que acabamos de obter os ângulos internos da base dos triângulos AFG e ABC.

A medida da área desses triângulos representa a medida da área pautada visível.

“Olhando” para tais triângulos agora com seus ângulos da base definidos, isto é, com medidas de 45° cada, percebemos também que são retângulos.

Os ângulos dos vértices F e C são retos (90º), pois se os ângulos da base medem 45º cada, logo para 180º (180° – 45º – 45º), faltam 90º. E esse raciocínio se aplica a ambos os triângulos.

Os triângulos possuem ângulos da base idênticos, logo são isósceles.

E por isso possuem lados congruentes, cada um medindo 4 cm, pois o total era 8 cm (triângulo esquerda), como são idênticos (lados, mesma medida), ficam divididos igualmente.

Desse modo, podemos calcular a medida de suas áreas.

No triângulo AFG, temos base (FG) com medida de 4cm e a altura (FA), com a mesma medida.

Aliás, você sabe como calcular a medida da área de um triângulo?  😕

Área de AFG = (4 x 4)/2 = 16/2 = 8 cm².

No triângulo ABC, seguimos pelo mesmo raciocínio.

Área de ABC = (4 x 4)/2 = 16/2 = 8 cm².

Soma das Áreas = 8 cm² + 8 cm² = 16 cm².

Portanto, a medida da área pautada é de 16 cm².

Observação: procuramos sempre detalhar ao máximo nossas soluções, pois acreditamos que cada um tem seu nível de conhecimento. Uns mais outros menos. Por isso, geralmente acabamos por escrever um pouco mais. Você, pode realizar alguns cálculos “de cabeça” e de modo mais rápido, aliás, deve praticar para ter uma maior agilidade.

Questão 3.

Temos aqui um problema de Análise Combinatória.

Vamos utilizar para chegar a resposta correta, o princípio fundamental da contagem, você conhece? Se não, clique aqui para aprender.

O código é composto por duas letras e dois algarismos, logo temos quatro dígitos a serem preenchidos.

—  —  —  —

O enunciado não nos diz se as letras devem ser distintas. O mesmo vale para os números.

Então, para cada dígito das letras temos vinte e seis (26) possibilidades de escolha, pois nosso alfabeto tem 26 letras.

No caso dos números, temos dez possibilidades de escolha, de 0 a 9.

Há 4 decisões para tomarmos.

A primeira pode ser feita de 26 modos, a segunda também. A terceira e quarta decisões podem ser tomadas de 10 modos cada uma.

Portanto, pelo princípio fundamental da contagem:

26 x 26 x 10 x 10 = 67.600.

Poderemos identificar um total de 67.600 bens permanentes. Um valor entre 60.000 e 70.000.

Observação: caso o enunciado afirmasse que as letras ou números deveriam ser distintos, o raciocínio seria outro. Em Análise Combinatória devemos ter o máximo de atenção as restrições do problema.

Questão 4.

Observe atentamente as sequências numéricas de Ana e Bia.

(40, 43, 46, 49, …) e (1, 5, 9, 13, …).

Você conhece esse tipo de sequência?

A primeira, a partir do 40, vai aumentando de três em três. O número seguinte é obtido somando-se três ao antecessor.

A segunda, a partir do 1, vai aumentado de quatro em quatro. O número seguinte é obtido somando-se 4 ao antecessor.

Pois é, sequências como essas recebem um denominação especial e existe todo um estudo sobre elas.

As sequências formadas por Ana e Bia a partir da brincadeira são ditas Progressões Aritméticas (PA).

Uma Progressão Aritmética é uma sequência numérica onde a diferença entre um termo e seu antecessor é sempre constante, chamada de razão (r) da PA.

Os números que formam a sequência são chamados de termos da PA.

O problema nos informa que em dado momento Ana e Bia falaram um mesmo número, um mesmo termo da PA.

Bem, um termo qualquer da PA é conhecido por termo geral e representado por

an = a1 + (n – 1).r

Acima, temos uma fórmula para determinar o termo geral da PA. As incógnitas representam:

an → é o termo geral.

n → representa a posição do termo (primeiro ou segundo ou terceiro…).

a→ é o primeiro termo.

r → a razão da PA.

O termo anA que Ana falou será dado ao substituir os valores na fórmula por

anA = 40 + (n – 1).3

O termo anB que Bia falou será dado ao substituir os valores na fórmula por

anB = 1 + (n – 1).4

Atenção, cada PA tem seus respectivos substitutos: primeiro termo e razão. O valor de n é ainda desconhecido para nós, não sabemos a posição do termo.

Sabemos que Ana e Bia falaram um mesmo termo, logo eles são iguais, então

anA = anB

40 + (n – 1).3 = 1 + (n – 1).4 ⇔

⇔ 40 + 3n – 3 = 1 + 4n – 4 ⇔

⇔ 40 – 3 – 1 + 4 = 4n – 3n ⇔

⇔ 40 = n.

Observe, encontramos o valor de n, isto é, a posição que o termo que ambas falaram (Ana e Bia) ocupa na PA.

Novamente, para determinar o número (termo da PA), vamos substituir na fórmula do termo geral da PA de Ana ou de Bia, pois o resultado será o mesmo. Mas agora temos n.

Vamos substituir no termo geral de Bia.

a40 = 1 + (40 – 1).4 = 1 + 39.4 = 1 + 156 = 157.

O termo de posição 40 é o 157.

De acordo com as condições do problema, o mesmo número que Ana e Bia falaram foi 157.

Questão 5.

Nessa questão temos um problema básico de probabilidade.

Para descobrir a probabilidade de que o produto entre dois números, um do conjunto A e outro do conjunto B tenha como resultado um número par precisamos determinar:

  • a quantidade de produtos possíveis, ou seja, o espaço amostral;
  • a quantidade de produtos que são pares, ou seja, o evento desejado.

Primeiro vamos determinar a quantidade de produtos possíveis que pode ser obtida com a combinação dos elementos de A com B.

{(0,5), (0,6), (0,7), (0,8), (0,9)
(1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9)
……………………………
……………………………
……………………………
(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9)}

Não escrevemos todos os pares, não há necessidade. Acreditamos que você compreende facilmente a dinâmica do proposto.

Temos um total de 25 produtos possíveis.

Outra maneira de determina essa quantidade é fazer uso do princípio fundamental da contagem, usado na questão 3.

O conjunto A possui 5 elementos e o conjunto B também. Desejamos saber a quantidade total de pares distintos formados.

Temos que escolher um elemento de A e um elemento de B.

Há cinco modos de escolher o elemento de A e cinco modos de escolher o elemento de B.

Pelo princípio fundamental da contagem: 5 x 5 = 25.

Esse raciocínio é bem mais rápido! Claro que aqui estamos realizando passo a passo, mas você com a prática, realizará mais rápido.  😉

Agora vamos determinar a quantidade de produtos que tem como resultado um número par, o evento desejado!

Nesse caso, vamos enumerar passo a passo todos os pares. Lembre-se, o produto dos números tem que ser um número par.

{(0,5), (0,6), (0,7), (0,8), (0,9)
(1,6), (1,8)
(2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (2,9)
(3,6), (3,8)
(4,5), (4,6), (4,8), (4,9), (4,7)}

Você entendeu o conjunto acima?

O par (0,5) tem como produto 0, e zero é par.

O par, por exemplo, (2,7) tem como produto 14, e este é par.

E assim “contamos” todos os produtos pares!

Logo, temos um total de 19 pares, cujo o produto é um número par.

Agora ficou simples calcular a probabilidade desejada.

A probabilidade será dada pela quociente entre o número de elementos do evento desejado e o número de elementos do espaço amostral.

P = 19/25 = 0,76 = 76/100 = 76%.

Para transformarmos 0,76 para porcentagem sem antes colocar na forma de fração, basta multiplicar por 100.

Caso você tenha dificuldade em trabalhar com taxas percentuais, sugerimos conhecer o ebook porcentagem para concursos com 100 questões resolvidas passo a passo.

Com esse ebook, você, vai aprender estratégias geniais para resolver problemas.

Portanto, a probabilidade de que o produto seja um número par é de 76%.

E aqui termina as resoluções das questões.

Esperamos que essa série de questões resolvidas venha a colaborar com o seu objetivo.

Veja mais questões resolvidas

Se você gostou desse artigo e deseja praticar ainda mais com questões de outras bancas de concursos, veja o artigo Questões Resolvidas da Cesgranrio.

Nele, abordamos outras questões com temas diferentes.

A prática constante vai levar você a alcançar seu objetivo em menos tempo. Procure desenvolver o hábito de resolver questões anteriores até obter o sucesso desejado.

“Quando doer fundo, estude mais, faça mais exercícios físicos e trabalhe mais. Na pior das hipóteses, você vai ficar mais sabido, mais saudável e mais rico.”

~ Vitor Quintan

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Então, comente!

Grande Abraço!  🙂

(crédito da imagem: shutterstock.com)

12 Comentários


  1. Olá. Tudo bem ? Bom… sobre a questão 2.
    Tô achando que a base do triângulo pintado não pode ser 4 porque então a base da Folha teria que ser 8.. mas ela não pode ser 8 porque todos os lados da Folha seriam iguais e daí teríamos um triângulo equilátero e não isosceles .
    Eu fiz o seguinte : pitagoras no triângulo da Folha e achei base igual a 8raizde2. A metade dessa base é 4raizde2 (valor da base de um triângulo pintado). Agora tenho que achar a altura do triângulo pintado. Simples: dividi ele ao meio e fiz Pitágoras novamente para achar sua altura que é 2raizde2 . Bom… Agora é so substituir na fórmula da área do triângulo : base x altura /2
    (4raizde2 ) x (2raizde2) /2 = 8 e como são dois triângulos …. 2×8 =16
    Confere?

    Responder

      1. Oi Jessica,

        alguns problemas de Matemática podem apresentar resoluções distintas. Algumas mais rápidas do que outras. O importante é analisar cada uma e aprender com isso. Parabéns pelo seu esforço e fique a vontade para comentar sempre que quiser, ok? Vai ajudar outras pessoas também. Abraço!

        Responder

    1. Oi Jessica, como vai? De onde você tirou que a base do triângulo é 4? E em qual triângulo?

      Saiba que todo triângulo equilátero também é isósceles, pois para ser isósceles, basta dois lados congruentes, ok?

      Estude novamente a resolução apresentada, reescreva-a passo a passo. Tenho certeza que te ajudará muito.

      Agora, sua ideia apresentada confere, é outro caminho. O importante é saber exatamente o que esta se fazendo. Se você consegue justificar todos os seus passos, ótimo.

      No mais, obrigado por comentar e contribuir com sua estratégia. Tudo bom!

      Responder

  2. Muito bom o site!!! Será minha fonte de conhecimento!!!

    Parabéns!!!

    Obrigada 🙂

    Responder

    1. Valeu Keise, obrigado por comentar. Aproveite o conteúdo do blog sempre que precisar, ok? Abraço!

      Responder

  3. Opa Thieres.., td bem???.., irmão quero te parabenizar, o seu método muito bom…., é como se , matemática fosse tão fácil como “comer” algo….,
    aproveitando a oportunidade…, gostaria de sugerir que você nos ajudasse a entender e estudar raciocínio lógico para o concurso do inss
    desde já…, agradeço a atenção
    Leandro Matos

    Responder

    1. Oi Leandro, tudo bem? Valeu mesmo pelo comentário… muito obrigado. Utilize com moderação, ok? (rsrsrs). Sua sugestão está anotada. Conforme nosso tempo, iremos colocar em prática. Tudo de bom!

      Responder

  4. Boa noite , thieres tenho acompanhado bastante suas postagens sobre matemática, e gosto muito da forma como você aborda os assuntos, de forma que gostaria de pela primeira vez prestar um concurso para professor de matemática pois sou recem formado e você sabe temos muito que estudar, com isso pediria a voce que me informasse ou ate mesmo me enviar questões que me levem a treinar, para tais provas pois elas são um pouco diferentes dos concursos tradicionais, sou de Itapemirim- E. S. me de uma luz quanto a isso. o majs obrigado

    Responder

    1. Opa Renato, como vai? Sobre estudar para concursos Renato, seja qual for, o primeiro passo (ler o edital) é descobrir qual banca vai organizar o concurso desejado e procurar conhecer o estilo da mesma, através de provas anteriores. Se não sabe ainda qual é a banca, descubra qual realizou o último concurso.

      E sobre estudar Matemática para concurso de professor, vai depender muito da banca, umas exigem mais, outras menos. Tem que analisar sempre. Mas em se tratando de Matemática, procure fazer o máximo de exercícios que puder, exercícios de alto nível. Como ITA, IME, a nível de mestrado, etc. No mínimo você vai ficar bem preparado p/ concursos de professor. Abraço.

      Responder

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