Questões Resolvidas da Cesgranrio

Seguindo a sugestão de diversos leitores do blog Cálculo Básico, pedindo questões resolvidas da Cesgranrio, apresentamos neste artigo uma série de questões de concursos comentadas passo a passo.

A Fundação Cesgranrio é uma das principais bancas organizadoras de concursos do país, nos últimos anos foi responsável por concursos de alta concorrência, tais como: Petrobras, BACEN, Banco do Brasil e muitos outros.

As questões elaboradas por tal banca são importantes para aqueles que pretendem algum cargo público, devendo ser refeitas como método de aprendizagem.

Semanalmente, recebemos dezenas de pedidos para que seja apresentada a solução de diversas questões dos concursos organizados pela Cesgranrio.

Atendendo a esses pedidos, segue abaixo diversas questões resolvidas dos últimos concursos.

Para você ficar por dentro do assunto da Matemática básica que é abordado em cada questão, veja abaixo um pequeno resumo:

A primeira questão, você vai precisar de conhecimentos de Raciocínio Lógico Matemático.

A segunda, Análise Combinatória. Pelo menos o básico sobre o princípio multiplicativo.

A Terceira, sobre gráfico da função linear e grandezas diretamente proporcionais.

A quarta, sobre probabilidade especificamente da união de eventos.

A quinta questão, você vai precisar saber aplicar a teoria sobre Progressões Aritméticas (fórmula do termo geral de uma P.A.)

Agora que já sabe sobre a teoria envolvida em cada questão, pode começar a resolver. 🙂

Enunciados das Questões

“Sonhos determinam o que você quer. Ação determina o que você conquista.”
– Aldo Novak

1. A respeito de um pequeno grupo indígena, um repórter afirmou: “todos os indivíduos do grupo têm pelo menos 18 anos de idade”. Logo depois, descobriu-se que a afirmação a respeito da idade dos indivíduos desse grupo não era verdadeira. Isso significa que

A) todos os indivíduos do grupo têm mais de 18 anos de idade.
B) pelo menos um indivíduo do grupo tem menos de 17 anos de idade.
C) todos os indivíduos do grupo têm menos de 18 anos de idade.
D) pelo menos um indivíduo do grupo tem mais de 18 anos de idade.
E) pelo menos um indivíduo do grupo tem menos de 18 anos de idade.

2. Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco. De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?

A) 13
B) 14
C) 16
D) 17
E) 18

3. O gráfico abaixo apresenta o consumo médio de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação.

grafico 1

Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática de natação?

A) 50,0
B) 52,5
C) 55,0
D) 57,5
E) 60,0

4. Ao participarem de uma pesquisa sobre desenvolvimento sustentável, 200 empresários responderam à seguinte pergunta: “Na sua empresa, qual é a principal barreira para ação na área de sustentabilidade?”. Todos os empresários responderam escolhendo uma única barreira como principal, e as escolhas estão apresentadas no gráfico abaixo.

grafico 2

Escolhendo-se, ao acaso, um dos empresários que participaram dessa pesquisa, a probabilidade de que ele tenha apontado como principal barreira “falta de mão de obra” ou “falta de infraestrutura” é de

A) 9%
B) 15%
C) 18%
D) 24%
E) 30%

5. Progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença entre dois termos consecutivos é constante. A sequência (5, 8, 11, 14, 17, …, 68, 71) é uma progressão aritmética finita que possui

A) 67 termos
B) 33 termos
C) 28 termos
D) 23 termos
E) 21 termos

Soluções das Questões

Questão 1

Para resolvermos esta questão, precisamos saber um pouco de Raciocínio Lógico Matemático, isto é, negar um proposição.

A proposição em questão é a seguinte:

“todos os indivíduos do grupo têm pelo menos 18 anos de idade”

Como, no enunciado, afirmou-se, que tal afirmação não é verdadeira, vamos descobrir sua negação.

Neste caso, temos na afirmação (proposição) dois quantificadores:

Quantificador universal: “todos os individuos…”

Quantificador existencial: “pelo menos 18 anos…”

Para negar o quantificador universal, basta substituí-lo pelo existencial.

O quantificador universal é ‘todos’ substituindo pelo existencial fica ‘pelo menos um’.

Veja, a sentença é de que “todos os indivíduos…” (todos), para negá-la, precisamos que ao menos um não tenha a idade, então dizemos que ‘pelo menos um’.

Para negar o quantificador existencial ‘pelo menos’, basta substituí-lo pelo universal.

A sentença “pelo menos 18 anos…” substituída pelo quantificador universal, fica ‘menos de 18 anos’.

Veja, a sentença diz que os indivíduos do grupo devem ter ‘pelo menos’ 18 anos (maior ou igual a 18) para negá-la precisamos que os indivíduos tenham menos de 18 anos (menor do que), isto é, ‘todos’ os indivíduos possuem idade menor do que 18 anos (todos!)

Portanto, a afirmação – “todos os indivíduos do grupo têm pelo menos 18 anos de idade” – não sendo verdadeira fica:

pelo menos um indivíduo do grupo tem menos de 18 anos de idade.”

Observação: caso você não saiba nada sobre Raciocínio Lógico Matemático ou tenha ficado com dificuldade para entender a resolução, sugerimos que procure aprender mais sobre este tema.

No link abaixo você pode aprender mais sobre quais tópicos deve estudar para ter total domínio.

Curso de Raciocínio Lógico para concursos

Questão 2

Esta questão, vai exigir de você conhecimentos de Análise Combinatória.

As cores que o papel pode assumir são:

laranja, azul, preto, amarelo, vermelho e roxo.

A cores que o texto pode assumir são:

preto, vermelho ou branco.

Lembrando que o papel e o texto não podem ter a mesma cor, vamos verificar todas as possíveis combinações.

Nos pares abaixo, a primeira cor é a do papel e a segunda, do texto.

(laranja, preto), (laranja, vermelho), (laranja, branco), (azul, preto), (azul, vermelho), (azul, branco),(amarelo, preto), (amarelo, vermelho), (amarelo, branco), (roxo, preto), (roxo, vermelho), (roxo, branco),

(preto, vermelho), (preto, branco), (vermelho, preto), (vermelho, branco).

Contando todos os pares possíveis, temos um total de dezesseis (16).

Pensando de outro modo:

Outra maneira de resolver esta questão sem ter que escrever todos os casos possíveis é fazendo uso do princípio multiplicativo (princípio fundamental da contagem).

Cores do papel diferentes do texto: laranja, azul, amarelo, roxo.

4 maneiras (4 cores) de escolher a cor do papel.

Cores do texto: preto, vermelho, branco.

3 maneiras (3 cores) de escolher a cor do texto.

De acordo com o princípio multiplicativo, temos 4 modos (escolha do papel) e 3 modos (escolha do texto), então 4 x 3 = 12 modos distintos.

Agora se o papel for vermelho, o texto não pode ter a mesma cor, só pode ser preto ou branco. Pelo princípio multiplicativo: 1 x 2 = 2 modos.

Se o papel for preto, o texto só pode assumir as cores vermelho ou branco. Pelo pincípio multiplicativo: 1 x 2 = 2 modos.

Somando todos os modos, temos: 12 + 2 + 2 = 16 modos distintos.

Questão 3

Como o problema deseja saber o consumo de oxigênio de um atleta cuja massa é de 80 kg em 10 min e considerando que este consumo é diretamente proporcional (clique para saber mais) a massa do atleta, vamos então, antes, determinar o consumo de oxigênio do atleta cuja massa é de 70 kg.

Observe que o gráfico é uma reta (crescente) que passa pela origem do plano, temos que o gráfico representa a lei de formação de uma função linear.

Veja que o consumo de oxigênio é diretamente proporcional ao tempo, cresce a mesma quantidade em intervalos de tempo iguais ou a medida que o tempo aumenta o consumo também aumenta na mesma proporção.

Portanto, se em 4 minutos o consumo de oxigênio é de 21 litros em 10 minutos será de 52,5 litros. Para chegar a este valor realizamos:

Tempo (min.)    Cons. Oxig. (litros)
4                        21
10                      C

Onde C representa o consumo em 10 minutos do atleta de 70kg.

4/21 = 10/C, então 4C = 210 e C = 52,5 litros.

Bem, agora já sabemos o consumo do atleta (de 70 kg) em 10 min.

Como o problema diz que o consumo é diretamente proporcional a massa do atleta e o tempo é mesmo (lembra?), vamos seguir o mesmo caminho anterior.

Se um atleta de 70 kg consome 52,5 litros de oxigênio em 10 min., então um atleta de 80 kg, no mesmo tempo, consumirá uma quantidade L (é óbvio que será uma valor maior do que 52,5 litros 🙂 ).

As grandezas são diretamente proporcionais, isto é, se uma grandeza aumenta a outra também aumenta na mesma proporção, temos então que:

Massa (kg)     Consumo (litros)
70                     52,5
80                       L

70L = 4200, então L = 60 litros.

Logo, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática de natação é de 60 litros.

Questão 4

O problema deseja saber qual a probabilidade de ocorrer um evento ou outro, isto é, temos um caso de probabilidade da união de dois eventos.

Observe também que os eventos considerados são mutuamente exclusivos. O que isso quer dizer?

Quer dizer que não há interseções nas escolhas (das barreiras). O empresário só pode escolher apenas uma causa principal.

Considerando este fato, temos que a probabilidade pedida será dada pela soma das probabilidades dos eventos considerados. Veja:

P(FM) é a probabilidade de ocorrer o evento “falta de mão de obra” e P(FI) é a probabilidade de ocorrer o evento “falta de infraestrutura”.

P[(FM) U (FI)] é a probabilidade de ocorrer o evento procurado (união, ou um ou outro).

Espaço amostral (todos os casos possíveis) é de 200 empresários.

Temos que 18 empresários apontaram a falta de mão de obra como fator principal, logo

P(FM) = 18/200.

Temos que 12 empresários apontaram a falta de infraestrutura, logo

P(FI) = 12/200.

Agora, calculamos a probabilidade procurada.

P[(FM) U (FI)] = 18/200 + 12/200 = 30/200 = 3/20 = 0,15.

Convertendo para porcentagem (multiplica por 100), vem que

P[(FM) U (FI)] = 0,15 x 100 = 15%.

A probabilidade procurada é de 15%.

Questão 5

O próprio enunciado da questão já traz a definição de progressão aritmética, veja:

“Progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença entre dois termos consecutivos é constante.”

A diferença constante entre dois termos consecutivos é chamada de razão da P.A.

Na sequência apresentada no enunciada a razão é 3, pois 14 – 11 = 11 – 8 = 8 – 5 = 3.

O problema pede a quantidade de termos da P.A., para isso vamos utilizar a fórmula do termo geral da P.A.

Você sabe? É o seguinte:

an = a1 + (n – 1).r

Conhecendo as variáveis:

Termo de uma P.A. é qualquer um de seu elementos, ou seja, qualquer um dos números, neste caso.

an é um termo qualquer da P.A.. Também chamado de termo geral.

a1 é o primeiro termo.

n é a quantidade de termos.

r é a razão da P.A.

Da sequência (5, 8, 11, 14, …, 71) podemos verificar que

a1 = 5

an = 71 (último termo)

r = 3.

n = ? (quantidade de termos. Valor procurado)

O fato de “colocarmos” an = 71, é devido 71 ser o último termo, onde n é seu índice que vai indicar sua posição e a quantidade de termos por ser o último.

Aplicando na fórmula:

71 = 5 + (n – 1).3 <=>
71 = 5 + 3n – 3 <=>
71 – 5 + 3 = 3n <=>
69 = 3n <=>
69/3 = n <=>
n = 23 termos.

Conclusão: Alguns Pontos Importantes!

Não adianta começar a resolver questões de concursos se você não tem embasamento teórico relacionado ao assunto da questão, pode achar difícil e assim querer desistir de primeira, vá com calma, uma coisa de cada vez.

Se for seguir este método (é possivel caso queira), tenha por perto todo o material teórico necessário, pois assim você vai adquirindo o conhecimento (consultando) e resolve a questão.

A interpretação da questão é fator decisivo para chegar a resposta correta. Caso tenha problemas com interpretação de questões, veja o seguinte artigo:

Interpretando e resolvendo problemas

Agora, quero saber sua opinião sobre este artigo para que possamos continuar publicando conteúdo de qualidade.

Comente logo abaixo se este conteúdo está te ajudando ou como podemos te ajudar.

Grande Abraço 🙂

30 Comentários


  1. Muito bom, essas questões resolvidas é um presente. Muito obrigada.
    Se puder resolver umas questões das provas da Petrobras do cargo Administração e controle Junior 2014 eu te agradeço.
    grande abraço.
    Josefa

    Responder

  2. muito bom material , gostei bastante !

    coloque mais questões de raciocínio lógico.

    Responder

  3. Thieres, sua didática é ótima, quero continuar recebendo.
    Gostei muito dessas questões e de todo material que tem me enviado por e-mail.
    Irei prestar um concurso agora, e tenho aprendido muito com todo material .
    Obrigado, que Deus possa iluminar seu caminho para que possa seguir com esse trabalho fabuloso .
    abraços sucesso .

    Responder

    1. Oi Marcelo, muito obrigado pelo comentário. Desejo muito que o conteúdo do blog contribua para sua aprovação. Fique sempre a vontade para comentar, ok? Sucesso sempre!

      Responder

  4. Seu projeto é muito interessante, recebo seu material por e-mail a algum tempo, é de grande valia, sua didática é ótima, quero continuar recebendo.
    Grande abraço.

    Responder

    1. Oi Marli, que bom saber que nosso conteúdo está ajudando. Tendo dúvida, fique a vontade para comentar, ok? Sucesso sempre!

      Responder

  5. Professor Thieres Machado, sua ajuda é realmente singular. Uma pessoa a serviço do saber, é a definição que tenho sempre que visito o blog. Parabéns!!!

    Responder

    1. Andréia, muito obrigado por seu comentário! É gratificante saber que estamos ajudando um pouco. Fique a vontade, comente sempre que quiser, ok? Tudo de bom!

      Responder

  6. Thieres, parabéns pelo seu trabalho! É interessante o zelo que você possui para com os estudantes. Tem grande valia o seu trabalho. Continue assim, isso gerará ótimos frutos. Valeu pela atenção com os alunos.

    Responder

    1. Oi Gilmar, muito obrigado por suas palavras! Ajudar a quem precisa, esse é nosso objetivo e procuramos fazer isso da melhor maneira possível. Forte abraço!

      Responder

  7. Estou adorando esses exercícios, pois estou estudando para concursos e já me esqueci de quase tudo que aprendi no ensino médio.

    Responder

    1. Pode praticar a vontade Lucília, essa é a melhor forma de relembrar. Tudo de bom!

      Responder

  8. Ao professor THIERES MACHADO e EQUIPE, desejo um feliz natal. E um próspero ano 2015! Este blog é uma grande ferramenta de estudos, tenho aprendido bastante com as provas e os exercícios. Que o bom DEUS os abençoe infinitamente mais!

    Responder

    1. Wellington, muito obrigado pelo comentário e felicitações. Daqui, lhe desejamos que você supere os obstáculos, tenha força e coragem para atingir seus objetivos em 2015. Sempre que precisar consulte o blog, comente, tire suas dúvidas, ok? Sucesso.

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  9. Seu material e exelente!Nao estou falando por que e de graca mais na internet tem muito material quem nao tem condicoes de pagar> Eu por exemplo preciso passar num concurso> Seria minha futura aposentadoria> Estou desempregado sou pai de familia e estou buscando investimento baixo em estudo pela internet. Ja olhei muitos cursos justamente agora perto desse concurso> Mas quero continuar estudando com estrategia e macete para passar. Seria descobrir o caminho das pedras. Que hj se encontra cada vez dificil. Mas nao impossivel quando Deus nos permite a ir a luta com honestidade e coquista, suando a camisa. Que Deus possa esta contigo nesse objetivo. Um abraco!Everaldo

    Responder

    1. Everaldo, muito obrigado pelos elogios. Continue persistindo que sua hora chegará. Sucesso.

      Responder

  10. Eu acho que vou mergulhar na felicidade sem fim> Que bom encontrar um
    negocio desse!

    Responder

  11. Gostei muito dessas questões.
    Gostaria que fosse possivel acrescentar um numero maior.

    Att:Márcio Gomes.

    Responder

    1. Márcio,

      obrigado por sua vista e comentário. Por padrão, em artigos de questões resolvidas, só comentamos 5 questões. Claro que vem uma segunda parte da série é que temos vários projetos em andamento e todos para ajudar nossos leitores.

      Dê uma verificada no arquivo do blog que lá tem mais questões da Cesgranrio e de outras bancas. Com certeza vai te ajudar muito.
      Grande abraço.

      Responder

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