Uma Forma Rápida e Simples para Você Descobrir a Quantidade de Divisores de um Número (Com Apenas 3 Passos!)

Qual é a quantidade de divisores naturais do número 512?

Você consegue responder à pergunta acima em até 3 minutos?

Se você não sabe responder, tudo bem, pois é hora de aprender.

E se você já sabe, vai poder praticar ainda mais com exercícios escolhidos a dedo para esse assunto.

Nesse artigo, você aprenderá de forma rápida e simples sobre como descobrir a quantidade de divisores naturais de um número e como aplicar esse tema na resolução de questões.

Ou seja, você descobrirá a teoria essencial sobre o assunto e ainda exercitará com diversos problemas (resolvidos) para obter o máximo de sua aprendizagem.

Então…

Continue lendo para saber mais sobre:

  • Os 3 simples passos para encontrar a quantidade divisores de um número
  • Exemplos resolvidos
  • Quantidade de divisores pares de um número
  • Quantidade de divisores ímpares de um número
  • Como resolver questões sobre quantidade de divisores

Os Três Simples Passos para Encontrar a Quantidade de Divisores Naturais de um Número

três passos

São apenas três simples passos para você determinar a quantidade de divisores naturais de um número.

A regra que iremos demostrar em três passos, aplica-se somente aos números inteiros e positivos (ou naturais).

Quando falamos em divisor de um número natural N, estamos nos referindo ao número que divide exatamente N, isto é, resto zero na divisão.

Neste artigo, nosso foco é determinar a quantidade exata de divisores naturais de um número natural.

A diferença ficou clara para você? Uma coisa é saber quais são os divisores, outra, é saber a quantidade.

Aliás, para aprender como encontrar os divisores de um número, veja nesse artigo aqui.

Abaixo, primeiro descrevemos os passos, em seguida, exemplos resolvidos.

E depois, mostramos como aplicar, de modo semelhante, para os casos de números pares e ímpares. Por final, apresentamos as questões resolvidas de aplicação do tema.

Os três passos são…

Passo #1: faça a decomposição em fatores primos do número dado.

Caso não saiba decompor um número em fatores primos, poderá aprender passo a passo e ainda praticar com exercícios nesse artigo aqui.

Passo #2: somar uma unidade a cada um dos expoentes do fatores primos.

Sim, é isso mesmo o que você leu. Somar um (1) a cada expoente dos fatores primos obtidos com a decomposição.

A justificativa de adicionar uma unidade a cada expoente, se deve ao fato de que o número um é divisor de qualquer número.

Mas, quando realizamos a decomposição o mesmo não aparece explicitamente nos fatores primos como potência.

Nos exemplos resolvidos, voltaremos a esse ponto e visualizaremos na prática o motivo de somar um (1) a cada expoente dos fatores.

Passo #3: Multilique os resultados encontrados.

Você acabou de fazer a soma de uma unidade a cada um dos expoentes, agora multiplique os resultados encontrados e pronto!

Agora, vamos ver na praticar como as coisas funcionam! 🙂

Acompanhe o passo a passo nos exemplos resolvidos a seguir.

Determine a Quantidade de Divisores dos Números…

a) 15

b) 120

c) 512

d) 5880

e) 2³ × 3² × 10²

Resoluções…

a) 15

Esse primeiro exemplo é bem simples, dá para fazer “de cabeça”. Mas vamos mostrar detalhadamente cada passo. Assim, acreditamos que sua compreensão será ainda melhor.

Passo #1: decompondo o número 15 em fatores primos, encontramos

15 = 3¹ × 5¹.

Passo #2: como expoentes dos fatores, temos apena o número 1. Então, vamos somar uma unidade a cada um.

(1 + 1) e (1 + 1).

Passo #3: Multiplicando os resultados.

(1 + 1).(1 + 1) = 2.2 = 4.

Portanto, a quantidade de divisores do número 15 é 4.

De modo direto, representamos por Q(15) a quantidade de divisores, logo

Q(15) = (1 + 1).(1 + 1) = 2.2 = 4.

Observação: sabemos facilmente que os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15. Veja, os fatores são 3¹ e 5¹.

E onde estão os divisores?

Ora, são todas as combinações possíveis (produtos) entre as potências dos fatores.

Para o fator 3, temos 30 = 1 e 3¹ = 3.
Para o fator 5, temos 50 = 1 e 5¹ = 5.

Basta realizar o produto entre as potências, de modo a obter todas as combinações, excluem-se os resultados repetidos.

Aqui, contamos todas as potências de cada fator, pois são divisores e as combinações do produto de ambas também, como escrevemos acima.

As potências 30 e 50 (expoente) devem também ser consideradas, elas representam a unidade (1) que é divisor de qualquer número.

Logo, para contarmos as potências de expoente zero, basta somar uma unidade (1) a cada um dos expoentes dos fatores primos.

Mas com essa regra, contamos apenas uma vez cada possível divisor.

Esperamos que você tenha compreendido de modo intuitivo o processo, pois não iremos realizar aqui uma demonstração Matemática mais rigorosa.

A mesma “ideia” será utilizada para os exemplos seguintes.

Nosso objetivo é a aplicação direta da regra que vale para o conjunto dos números naturais.

Veja as outras resoluções, apenas com os três passos.

b) 120

Passo #1: fatorando o 120 encontramos

120 = 2³ × 3¹ × 5¹.

Passo #2: somando um (1) a cada um dos expoentes dos fatores.

(3 + 1), (1 + 1) e (1 + 1).

Passo #2: multiplicando os resultados.

(3 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 4.2.2 = 16.

Portanto, o número 120 possui 16 divisores naturais.

Q(120) = (3 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 4.2.2 = 16 divisores.

c) 512

Passo #1: fatorando o 512, encontramos

512 = 29.

Passo #2: somando um (1) ao expoente

9 + 1.

Passo #3: nesse caso, não há o que multiplicar. O resultado final é o resultado da soma 9 + 1 = 10.

Q(512) = 9 + 1 = 10.

Portanto, o número 512 tem 10 divisores naturais.

d) 5880

Passo #1: fatorando o 5880, encontramos

5880 = 2³ × 3¹ × 5¹ × 7².

Passo #2: somando um (1) a cada expoente

(3 + 1), (1 + 1), (1 + 1) e (2 + 1).

Passo #3: multiplicando os resultados

Q(5880) = (3 + 1).(1 + 1).(1 + 1).(2 + 1) = 4.2.2.3 = 48 divisores.

Portanto, o número 5880 possui 48 divisores naturais.

e) 2³ × 3² × 10²

Observe que nesse caso, o número já se encontra na forma fatorada, mas nem todos fatores primos. Exceto pelo fator 10, que deve ser decomposto em fatores primos.

Passo #1:

2³ × 3² × 10² = 2³ × 3² × (2 × 5)2 = 2³ × 3² × 22 × 52 = 2³ × 22 × 3² × 52 = 25 × 32 × 52.

Passo #2:

(5 + 1), (2 + 1) e (2 +1).

Passo #3:

(5 + 1).(2 + 1).(2 + 1) = 6.3.3 = 54 divisores.

Portanto, o número dado tem 54 divisores.

Não precisamos saber qual é esse número, pois o objetivo é determinar a quantidade de divisores.

Terminamos aqui os exemplos de aplicação direta da regra.

Essa mesma regra, com algumas alterações, pode ser aplicada para outros casos.

Logo abaixo, veremos sua aplicação para divisores pares e ímpares.

Quantidade de Divisores Pares de um Número

quantidade de divisores pares

Para encontrarmos a quantidade de divisores naturais pares de um número, seguiremos quase a mesma regra acima.

Com exceção na hora de adicionar uma unidade (1), NÃO faremos para o expoente do fator primo 2. Conserva-se o mesmo expoente.

Exemplo: determine a quantidade de divisores naturais pares do número 360.

Passo #1: fatora-se o número 360.

360 = 2³ × 3² × 5¹.

Passo #2: soma-se uma unidade (1) a cada expoente dos fatores primos, EXCETO para o expoente do fator primo 2.

3, (2 + 1) e (1 + 1).

Passo #3: multiplicam-se os resultados.

Qp(360) = 3.(2 + 1).(1 + 1) = 3.3.2 = 18 divisores naturais pares.

Portanto, o número 360 possui 18 divisores naturais pares.

A justificativa (de modo intuitivo) de não adicionar uma unidade ao expoente do fator primo 2, é por conta do fator 20 = 1 que deve ficar fora da contagem dos divisores.

Observe que 20 = 1 é um divisor ímpar e queremos contar somente os pares.

Quantidade de Divisores Ímpares de um Número

quantidade de divisores ímpares

Para encontrarmos a quantidade de divisores ímpares, seguiremos caminho semelhante ao dos divisores pares.

Há também uma exceção.

Nesse caso, o fator primo 2 NÃO participa da contagem, mesmo que o número dado venha a ser par.

O fator primo 2 deve ser excluído da contagem, pois do contrário teremos divisores pares.

Deve-se adicionar uma unidade SOMENTE aos expoentes dos fatores primos ímpares obtidos.

Exemplo: determine a quantidade de divisores naturais ímpares do número 2520.

Passo #1: fatorando o número 2520

2520 = 2³ × 3² × 5¹ × 7¹.

Passo #2: acrescenta-se uma unidade aos expoentes dos fatores primos ímpares. O fator 2³ deve ser excluído da contagem.

(2 + 1), (1 + 1) e (1 + 1).

Passo #3: multiplicam-se os resultados.

Qi(2520) = (2 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 3.2.2 = 12 divisores naturais ímpares.

Portanto, o número 2520 possui 12 divisores naturais ímpares.

Agora que você aprendeu a calcular a quantidade de divisores de um número, aprenderá também a interpretar e resolver questões sobre esse assunto.

Vamos lá!

Questões Resolvidas Sobre a Quantidade de Divisores de um Número

Primeiro apresentamos os enunciados das questões, em seguida, as resoluções.

Enunciados das Questões

1.(EsSA) Se o número N = 2x.3² tem 6 divisores positivos, o valor de N é:

a) 1
b) 2
c) 9
d) 18
e) 72

2.(ENEM) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x.5y.7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é

a) x.y.z
b) (x + 1).(y + 1)
c) x.y.z – 1
d) (x + 1).(y + 1).z
e) (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1

3. O número N = 215 + 215 + 215 +…+ 215 é formado por quinze (15) parcelas, todas iguais. Determine a quantidade de divisores positivos de N.

a) 4
b) 8
c) 16
d) 32
e) 64

4. Uma urna contém bolas numeradas de 1 até 60. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola cujo número seja um divisor par de 60.

a) 2/12
b) 8/12
c) 2/15
d) 8/15
e) 17/60

5.(Col. Naval) Seja N = 24.35.56. O número de divisores de N que são múltiplos de 10, é:

a) 24
b) 35
c) 120
d) 144
e) 210

Resoluções das Questões

Questão 1.

Nessa questão já temos a quantidade de divisores do número N e também, a sua decomposição em fatores primos.

N = 2x.3²

Sabemos que a quantidade de divisores positivos é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de uma unidade, então

Q(N) = 6.

\displaystyle {\sf (x+1).(2+1)=6}\Leftrightarrow
\displaystyle {\sf (x+1).3=6}\Leftrightarrow
\displaystyle {\sf 3x+3=6}\Leftrightarrow
\displaystyle {\sf 3x=6-3}\Leftrightarrow
\displaystyle {\sf 3x=3}\Leftrightarrow
\displaystyle {\sf x=3/3=1.}

Agora, temos o valor de x = 1. Vamos substituir na fatoração de N, isto é

N = 2x.3² = 2¹.3² = 2.9 = 18.

Portanto, o valor de N é 18.

Questão 2.

Sabemos que N = 2x.5y.7z e que x, y, z são números inteiros não negativos.

As demais informações não são úteis para resolver o problema, já que o que é pedido, é a quantidade de divisores de N, diferentes de N.

Ser múltiplo de 10 e não ser de 7, não altera a quantidade de divisores de N, para esse caso.

N já está na forma fatorada, portanto para encontrar a quantidade de divisores, basta somar uma unidade aos expoentes (x, y, z) dos fatores primos, isto é,

(x + 1), (y + 1) e (z + 1).

Agora, multiplicaremos o resultado.

Q(N) = (x + 1).(y + 1).(z + 1), pronto aí está a quantidade de divisores de N, incluído o próprio N.

Porém, o enunciado pede o número de divisores diferentes de N (o próprio), logo basta subtrair uma unidade do resultado encontrado.

Portanto, a resposta correta fica:

Q(N)dif. N = (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1.

Questão 3.

Como N é formado por 15 parcelas, todas iguais a 215, então podemos escrever N como um produto, isto é, “215 vezes 15″.

N = 215 + 215 + 215 +…+ 215

N = 215.15

(Lembre-se da multiplicação, da tabuada! 🙂 Exemplo: 7 + 7 + 7 = 7.3)

Fatorando o número 15 = 3¹.5¹ e substituindo, temos:

N = 215.3¹.5¹, calculando a quantidade de divisores

Q(N) = (15 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 16.2.2 = 64 divisores positivos.

Questão 4.

Sabemos que o total de números possível é 60 (quantidade de bolas).

O que nos falta é saber a quantidade de divisores pares de 60, para calcularmos a probabilidade de ocorrer o evento desejado.

Vamos calcular!

Fatorando o 60.

60 = 2².3¹.5¹.

Lembra da regra para calcular a quantidade de divisores pares? Caso não se lembre, verifique acima.

Qp(60) = 2.(1 + 1).(1 + 1) = 2.2.2 = 8 divisores pares.

São 8 divisores pares num universo de 60 números, então a probabilidade P é igual a

\displaystyle {\sf P}=\frac{{{\sf 8}^{\div 4}}}{{{\sf 60}^{\div 4}}}=\frac{\sf 2}{\sf 15}\cdot

Questão 5.

Nessa questão, um caminho longo e árduo para resolvê-la é determinar o valor de N, encontrar todos os seus divisores e depois verificar quais são múltiplos de 10.

Mas, não é esse o caminho que seguiremos.

Veja logo abaixo, duas resoluções para essa questão.

1ª Resolução:

Dada a forma fatorada de N = 24.35.56, sabemos que nela se encontram todos os divisores de N, isto é, todas as combinações possíveis.

Como desejamos saber a quantidade de múltiplos de 10, deve estar claro para você que se, um número é múltiplo de 10, então 10 é seu divisor, certo?

Logo, dividindo N (na forma fatorada) por 10, teremos todas as combinações possíveis de múltiplos de 10. Veja:

\displaystyle \frac{{\sf {2}^{4}}{\sf {.3}^{5}}{\sf {.5}^{6}}}{10}=\frac{{\sf {2}^{4}}{\sf {.3}^{5}}{\sf {.5}^{6}}}{{\sf {2}^{1}}{\sf {.5}^{1}}}={\sf {2}^{3}}{\sf {.3}^{5}}{\sf {.5}^{5}}.

Acima, escrevemos 10 na forma fatorada, pois um número múltiplo 10 é também múltiplo de 2 e 5 (simultaneamente), observe também, as combinações com as potências do fator primo 3.

Em seguida, realizamos a divisão de potências de mesma base.

Vamos calcular a quantidade de divisores de N múltiplos de 10, pois agora temos todas as combinações possíveis.

23.35.55

Q(N)Mult. 10 = (3 + 1).(5 + 1).(5 + 1) = 4.6.6 = 144.

Portanto, a quantidade de divisores de N que são múltiplos de 10 é igual a 144.

2ª Resolução:

Para essa segunda resolução, é importante que você tenha noção de Análise Combinatória, em especial, o princípio fundamental da contagem (ou multiplicativo).

Um número múltiplo de 10 termina em 0.

Na fatoração de N temos as potências 24 e 56, qualquer produto entre essas potências terminará em zero, logo será múltiplo de 10.

Temos 4 potências para o fator 2 e 6 potências para o fator 5.

Logo, a combinação de todos os produtos dessas potências será igual a: 4.6 = 24.

Temos, 24 produtos que terminam em zero, isto é, 24 múltiplos de 10.

Ainda não acabamos… 😕  Faltam as combinações com as potências do fator 3.

Agora, observe que os produtos entre as potências dos fatores 2, 3 e 5 também terminam em zero.

Ora, na multiplicação de 2 por 5 e em seguida por 3 (2.5.3 = 30), resulta um número (produto) múltiplo de 10. O mesmo vale para as demais potências.

São 4 potências para o fator 2, 5 potências para o fator 3 e 6 potências para o fator 5.

Logo, o número de combinações possíveis é: 4.5.6 = 120 múltiplos de 10.

Novamente, a quantidade de múltiplos de 10 é: 24 + 120 = 144.  🙂

Conclusão (Paciência e Persistência)

persistência

Nem sempre você vai aprender na primeira leitura, talvez, nem mesmo na terceira. Sinto muito ter que dizer isso, mas é a verdade.

Que bom seria aprender “de primeira”. Mas, há situações que necessitam de uma maior dedicação de nossa parte, isso é normal. Fique tranquilo, mas continue.

Se você estudou todo esse artigo, seguiu todas as indicações que escrevemos e ainda ficou com alguma dúvida, faça um novo esforço e estude novamente.

Uma releitura ajuda muito, aumenta o foco e com isso descobrimos mais.

O essencial para descobrir a quantidade de divisores positivos de um número, são os três passos:

Passo #1: fatorar (números primos) o número dado.
Passo #2: adicionar uma unidade aos expoentes dos fatores primos.
Passo #3: multiplicar os resultados.

E se você achou esse post importante, que ajudou a esclarecer algumas de suas dúvidas, lembre-se que um amigo pode precisar também.

Por isso, deixe seu comentário abaixo e compartilhe com seus amigos, agora:

Forte abraço e até o próximo artigo!

(crédito das imagens: shutterstock.com)

20 Comentários


  1. ótima aula, muito esclarecedora com uma linguagem simples e objetiva. Parabéns pelo seu trabalho me ajudou na compreensão do assunto obrigada.

    Responder

    1. Oi Clarice, tudo na paz?

      Muito obrigado por seu comentário. Ficamos felizes por saber que ajudamos. Visite o site sempre que precisar, ok?

      Tudo de bom,
      Thieres Machado

      Responder

  2. Prezado Thires,
    Sou professor de Teoria dos Números e gostaria de comentar a questão
    2.(ENEM) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x.5^y.7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é
    Primeiramente, em suas explicações sobre a quantidade dos divisores de um número, faltam alguns detalhes importantes. Seus exemplos , mostram a quantidade de divisores POSITIVOS de um número inteiro. Claro que para esse fim, basta nos atermos aos inteiros positivos, uma vez que se um número divide um inteiro, ele divide o seu simétrico.
    Assim, quando você diz no seu exemplo que a quantidade de divisores de 15 é 4, isso não está correto! 15 tem o seguintes divisores {-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5,15}. O Teorema que sustenta o método que você apresenta, determina apenas os divisores positivos e não todos os divisores.
    Levando em conta o que foi dito, a questão do ENEM, além da péssima redação, não apresenta a opção correta pois a pergunta é: “O número de divisores de N, diferentes de N…” E não, “O número de divisores POSITIVOS de N, diferentes de N”
    Veja que se eu pedisse o número de divisores de 15, excluindo o quinze, a resposta correta seria [2.(1+1)(1+1)]-1 = 7
    Na questão do ENEM, como N não é múltiplo de 7, o fator 7^z é apenas uma brincadeira de mal gosto e nem deve ser considerado. Basta, considerar N = 2^x . 5^y. E aplicando o teorema, a resposta correta é [2(x+1)(y+1)] -1.
    Salvo melhor juízo, é essa minha colocação
    Abs

    Responder

    1. Opa Rubens, tudo certo?

      Obrigado por enriquecer este artigo com seu comentário.

      O nosso foco neste artigo são os divisores naturais (inteiros positivos) de um número na-tu-ral. Deixamos isso claro logo no início do artigo.

      Para nós, a questão não apresenta má formulação. Os expoentes x, y e z são inteiros não negativos {0, 1, 2, 3, …}. Veja, “o zero entra”.

      Mesmo N não sendo múltiplo de 7, entendemos que não se pode excluir o fator 7, pois podemos ter o fator 7° “sete elevado a zero”.

      Como exemplo, fazendo x = 1, y = 2 e z = 0, temos N = 2¹.5².7° = 2.25.1 = 50 (não múltiplo de 7, mas de 10).

      Abraço!

      Responder

  3. Professor,se por exemplo eu quiser encontrar o numero de divisores de um numero que sao multimos de 6,ou que sao divisiveis por 3…como devo proceder?

    Responder

    1. Oi Bruno, tudo na paz?

      Para descobrir com encontrar os múltiplos de um número, estude este artigo. Agora, se um número é divisível por 3, então ele é múltiplo de 3, portanto segue a mesma ideia do 6 acima. Mas, existem algumas técnicas específicas para saber se um determinado número é divisível por outro, você pode estudar sobre critérios de divisibilidade, ok?

      Abraço!

      Responder

  4. Como vai Thiers, seu site tem me ajudado muito nesse caminho para sanar as dúvidas básicas de matemática. Não entendi uma situação no exemplo e) 2³ × 3² × 10².

    Poderia me explicar como o número “5” sumiu na resolução? Não entendo como (2×5)² vira 2²x3².

    2³ × 3² × 10² = 2³ × 3² × (2 × 5)² = 2³ × 3² × 2² × 3²

    Obrigado e continue suas postagens, percebo que grande parte dos brasileiros abandonam o estudo da matemática justamente porque não entendem essa base. Parabéns pelo Site.

    Responder

    1. Opa Fábio, tudo na paz?

      Você nem precisa entender. Foi erro nosso, esquecemos o 5 e colocamos o 3. Mas já corrigimos, dê uma olhada novamente.

      Muito obrigado pelo comentário. Qualquer outra dúvida, fique a vontade para comentar, ok?

      Aproveite o site ao máximo. Sucesso!

      Responder

  5. Excelente matéria sobre quantidade de divisores, aproveitei bastante.
    Obrigado e um forte abraço.

    Responder

    1. Que bom Rafael, ficamos felizes em saber que você aproveitou, esperamos poder ajudar ainda mais. Obrigado por comentar. Abraço!

      Responder

  6. Thieres Machado

    Meu querido colega, simples e eficiente.
    Uma das poucas vezes que deixo meus parabéns a uma aula.
    A tempos não via um material tão bom, meus parabéns e continue ajudando a todos, com esse seu dom.

    Forte Abraço.

    Responder

    1. Opa Bruno, como vai? Seu comentário nos motiva ainda mais em continuar esse trabalho. É muito bom saber que ajudamos e ainda, que você gostou da aula.

      Obrigado pelo reconhecimento, não que nosso objetivo seja esse, mas receber comentários em que as pessoas estão se sentido ajudadas de fato é maravilhoso. A mudança de vida positiva é o que nos interessa, resultados na prática.

      Forte Abraço, meu amigo!

      Responder

  7. Thieres, tudo bem, gostaria que preparacem um ebook só algébra com todas as possíveis questões de concurso exemplo Maria deu dois lápis ficou com 20 se tivesse dado 5 teria ficado com 10 quantos alunos tem e quantos lápis.

    Responder

  8. Seu blog é ótimo, minhas pesquisas matemáticas está baseado em torno de seu material didático com excelente grau de amplitude no que diz respeito ao estudo matemático, comecei a divulgar entre alunos, professores e admiradores das exatas, já coloquei até em meu facebook assuntos relacionados pois meu face é direcionado a divulgação do XADREZ.

    Responder

    1. Opa Enilton, tudo tranquilo? Muito obrigado pelas palavras, pela divulgação, enfim pela confiança. Seu comentário é um incentivo e tanto para continuarmos rumo a produção do melhor conteúdo para que mais e mais recebam essa ajuda. Em breve tem mais material de ótima qualidade para você, fique atento, ok? Forte abraço!

      Responder

  9. Gostei muito do site dos artigos e dos vídeos ajudou bastante parabéns e obrigado Thieres a você e toda equipe.

    Responder

    1. Opa Mônica, tudo bem? Obrigado por deixar sua opinião. Esperamos poder ajudar ainda mais, seu comentário é um incentivo e tanto para cumprir essa missão. Que bom que gostou. Forte abraço!

      Responder

  10. muito bom esse artigo, vai me ajudar muito. obg.

    Responder

    1. Obrigado por comentar Jean. Aproveite sempre que precisar. Tudo de bom!

      Responder

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