Como Resolver Problemas de Conjuntos: As Melhores Dicas que Deixarão sua Mente mais Criativa e Preparada para Solucionar Questões Difíceis

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Alguém pode me ajudar com problemas de conjuntos, por favor?

Para muitos estudantes, problemas de conjuntos são verdadeiros inimigos invencíveis.

São várias as dificuldades, mas a principal é a famosa “interpretação da questão” e em seguida, “como vou montar os cálculos?”.

Mas superar tais dificuldades pode ser mais simples do que você imagina, caso esteja passando por isso.

E nesse artigo, você aprenderá os passos fundamentais para aumentar sua capacidade de resolver problemas de conjuntos.

Ao final do estudo, você descobrirá que o assunto não é tão complicado assim, entretanto, precisava somente aprender alguns pontos importantes.

Desse modo, se sentirá mais bem preparado para encarar outros problemas e resolvê-los com rapidez e êxito.

Continue lendo para saber mais sobre:

  • Como não ficar perdido ao resolver problemas de conjuntos
  • Os problemas de conjuntos mais comuns para você praticar, ganhar experiência e maturidade no assunto
  • As melhores estratégias para solucionar problemas de conjuntos e aprender ainda mais

Tudo pronto?

Então, vamos lá!

Dicas Essenciais que Você Precisa Conhecer para não Ficar Perdido com Problemas de Conjuntos

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Todo assunto de Matemática tem sua particularidade, isto é, tem algo que o caracteriza.

Nesse tópico, vou abordar as duas que considero essenciais para resolver problemas de conjuntos: a linguagem e a estratégia de resolução.

A linguagem própria do assunto, pode ser facilmente identificada num determinado problema ou pode estar camuflada através de outras palavras ou sentenças.

A estratégia usada para resolver os problemas de determinado assunto, em sua maioria, seguem um mesmo padrão de raciocínio.

É claro que uns poucos problemas precisam de soluções mais criativas.

Isso acontece, geralmente, em provas de concursos onde o nível de conhecimento dos candidatos deve ser mais alto.

Para exemplificar o que estou descrevendo, veja a dica #1 que você deve ter atenção ao resolver questões de conjuntos.

Dica #1: Tenha atenção com as palavras “apenas” e “somente”

Veja as questões abaixo, retiradas de concursos realizados pela Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (UNIRIO) e pela Fundação Carlos Chagas (FCC), respectivamente:

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Observe como as palavras “somente” e “apenas” aparecem nos enunciados. Elas são comuns em problemas de conjuntos.

Na primeira questão, a palavra “somente” significa que 61 pessoas leem uma ÚNICA revista. Não leem outras mais.

E na segunda questão, o significado da palavra “apenas” traz a mesma ideia anterior.

Nesse caso, por exemplo, 12 vereadores se inscreveram nas comissões de Educação e Saúde, ou seja, estes 12 vereadores não se inscreveram para outras comissões. Se inscreveram UNICAMENTE para Educação e Saúde.

Esta explicação parece óbvia? Pois é, mas muita gente não dá a devida atenção ou não entende mesmo e acaba se enrolando.

Fique tranquilo, logo abaixo as questões (acima) estão resolvidas detalhadamente.

Dica #2: Use diagramas e comece de dentro para fora

Problemas de conjuntos podem ser resolvidos mais facilmente com o uso de diagramas.

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O problema abaixo contém várias interseções entre dois conjuntos e uma interseção entre três conjuntos.

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O caminho mais simples é separar as informações utilizando diagramas.

Mas quando começar a separar as informações, comece pelas interseções (de dentro para fora), nesse caso, pela interseção entre os três conjuntos.

Desse modo, você evita somar duas ou três vezes as interseções.

Nos problemas a seguir, mostro como organizar os diagramas começando a resolver os problemas de conjuntos de dentro para fora.

As dicas acima referem-se exclusivamente ao tema conjuntos.

No entanto, se você quiser aprender mais sobre resolução de problemas de modo geral, ou seja, um guia sobre como interpretar e resolver problemas , leia o artigo:

» 5 Dicas de Ouro para Você ter Sucesso ao Resolver Problemas de Matemática

7 Problemas de Conjuntos Resolvidos Passo a Passo

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Estudar e não praticar com exercícios é o mesmo que não estudar.

Em Matemática, já repeti diversas vezes e irei continuar repetindo, que resolver exercícios ou problemas é indispensável, é ESSENCIAL.

A resolução de problemas é o melhor dever de casa que você pode fazer!

Num outro post vou abordar as razões disso, por enquanto, saiba que fará muito bem para a sua aprendizagem.

Por isso, logo abaixo tem uma lista com 7 problemas de conjuntos resolvidos passo a passo.

E, nesse outro artigo aqui há mais exercícios sobre conjuntos.

É hora de praticar!

Enunciados dos Problemas de Conjuntos

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1. Na cidade dos Pésujos, há duas marcas de sabão: RANCAKARACA e SAIKASCUDO. Após uma pesquisa realizada para saber a quantidade de pessoas que utilizam as marcas, obtiveram-se os seguintes dados na tabela abaixo:

tabela-problema-1

Com base nas informações da tabela, quantas pessoas foram entrevistadas?

2. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:

a) quantos jogam tênis e não jogam vôlei?
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

3.(UNIRIO) Numa pesquisa para se avaliar a leitura de três revistas A, B e C, descobriu-se que 81 pessoas leem, pelo menos, uma das revistas; 61 pessoas leem somente uma delas e 17 pessoas leem duas das três revistas. Assim sendo, o número de pessoas mais bem informadas dentre as 81 é:

a) 3
b) 5
c) 12
d) 29
e) 37

4.(CESPE/UnB) A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se inscreveram para o cargo B.

A respeito dessa situação hipotética, julgue o item abaixo:

Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B.

a) Certo
b) Errado

5.(FCC) Dos 43 vereadores de uma cidade, 13 deles não se inscreveram nas comissões de Educação, Saúde e Saneamento Básico. Sete dos vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. Doze deles se inscreveram apenas nas comissões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões. O número de vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a

a) 15
b) 21
c) 18
d) 27
e) 16

6.(ENEM) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?

a) 1/2
b) 5/8
c) 1/4
d) 5/6
e) 5/14

7.(ITA) Denotemos por n(x) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A U B) = 8, n(A U C) = 9, n(B U C) = 10, N(A U B U C) = 11 e n(A ∩ B ∩ C) = 2. Então n(A) + n(B) + n(C) é igual a:

a) 11
b) 14
c) 15
d) 18
e) 25

Resoluções dos Problemas de Conjuntos

Problema 1.

Nos problemas de conjuntos, devemos sempre ter atenção com os elementos que estão na interseção. Seja ela de um, dois ou mais conjuntos.

Pois, geralmente, seus elementos são somados mais de uma vez.

Nesse problema, veremos como isso acontece. Veja a tabela fornecida no enunciado.

tabela-problema-1

A pergunta do enunciado é referente a quantas pessoas foram entrevistadas e olhando para a tabela, muitos estudantes desavisados raciocinam do seguinte modo:

simplesmente somam os valores da tabela e o resultado dessa soma é a resposta final.

Infelizmente a resposta estará errada.

Para saber a quantidade de pessoas entrevistadas, precisamos antes descobrir quantas pessoas utilizam:

apenas o sabão rancakaraca;
apenas o sabão saicascudo.

Depois, realizar a soma com os demais valores.

Atenção: veja que utilizamos a palavra “apenas” (ou somente). Ela indica que as pessoas utilizam única e exclusivamente um sabão e nenhum outro mais. É por isso que devemos tomar cuidado com os elementos da interseção.

Por exemplo, são 210 pessoas que utilizam o sabão Rancakaraca, então entre essas pessoas há também pessoas que utilizam a outra marca, isto é, que estão na interseção.

Começaremos pela interseção para subtrair o número de pessoas que são contadas duas vezes.

São 50 pessoas que utilizam ambas as marcas.

Se 210 pessoas utilizam a marca Rancakaraca (R) e 50 pessoas utilizam ambas, então a quantidade de pessoas que utilizam apenas a marca Rancakaraca é

210 – 50 = 160.

Se 180 pessoas utilizam a marca Saicascudo (S) e 50 pessoas utilizam ambas, então a quantidade pessoas que utilizam apenas a marca Saicascudo é

180 – 50 = 130.

Observe nos diagramas abaixo a distribuição da quantidade de pessoas.

resolucao-problema-1

Nos diagramas acima, a interseção entre os conjuntos tem 50 pessoas. O número de pessoas que utilizam apenas R é igual a 160 e o número de pessoas que utilizam apenas S, é 130.

Essa forma de representar os elementos de um conjunto é conhecida como diagrama de Venn.

Agora que já sabemos que 160 pessoas utilizam apenas R, 130 pessoas utilizam S, 50 pessoas utilizam ambas as marcas e 40 pessoas não utilizam nenhuma das duas marcas, então o total de entrevistados é

160 + 130 + 50 + 40 = 380 pessoas.

Ficou claro para você o ponto onde não podemos contar os elementos da interseção duas vezes?

Cuidado, essa é uma dica essencial para você resolver problemas sobre conjuntos com sucesso.

Vamos para a próxima resolução.

Problema 2.

Aqui, desenvolveremos cálculos com três conjuntos, por isso, muita atenção com as interseções.

Vamos retirar as informações do enunciado.

  • Total de 99 esportistas.
  • 40 jogam vôlei (V).
  • 20 jogam vôlei (V) e xadrez (X).
  • 22 jogam xadrez (X) e tênis (T).
  • 18 jogam vôlei (V) e tênis (T).
  • 11 jogam as três modalidades.
  • O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.

Observe que precisamos responder três perguntas, então vamos primeiro ajeitar algumas informações sobre os conjuntos, isto é, encontrar os valores desconhecidos.

Para isso, começaremos pelas interseções com o objetivo de subtrair os elementos que são contados mais de uma vez.

Temos que 11 pessoas jogam as três modalidades.

Se 18 jogam vôlei e tênis, e 11 pessoas jogam as três modalidades, então a quantidade de pessoas que jogam apenas (ou somente) vôlei e tênis é

18 – 11 = 7.

Se 22 jogam xadrez e tênis, e 11 jogam as três modalidades, então a quantidade de pessoas que jogam apenas xadrez e tênis é

22 – 11 = 11.

Se 20 jogam vôlei e xadrez, e 11 jogam as três modalidades, então a quantidade de pessoas que jogam apenas vôlei e xadrez é

20 – 11 = 9.

Com estes cálculos, determinamos o número de pessoas que praticam apenas duas modalidades.

Veja nos diagramas abaixo os números encontrados e suas respectivas regiões.

resolucao-problema-2-a

  • 11, interseção dos três.
  • 7, interseção V e T.
  • 11, interseção entre X e T.
  • 9, interseção entre V e X.

Vamos determinar agora a quantidade de pessoas que praticam apenas um esporte.

Se 40 pessoas praticam vôlei, 9 praticam vôlei e xadrez, 7 praticam vôlei e tênis, e 11 praticam as três modalidades, então a quantidade de pessoas que praticam apenas vôlei é

40 – 9 – 7 – 11 = 13.

Nesse cálculo, para determinar o número de pessoas que jogam apenas vôlei, subtraímos do total de pessoas que jogam vôlei as quantidades que fazem interseção com o conjunto V.

No enunciado não temos a quantidade de pessoas que praticam xadrez, nem tênis.

Vamos indicar por x (minúsculo) a quantidade de pessoas que praticam apenas xadrez e por t (minúsculo) a quantidade de pessoas que praticam apenas tênis.

Veja nos diagramas abaixo.

resolucao-problema-2-b

Agora, encontraremos os valores de x e t.

Você sabe e eu também sei que a soma dos valores que estão nos diagramas, deve ser igual ao total de esportistas, isto é, 99.

Daí, podemos escrever e resolver a equação:

13 + 9 + 11 + 7 + x + 11 + t = 99 <=>

<=> 51 + x + t = 99 <=>

<=> x + t = 99 – 51 <=>

<=> x + t = 48.

Observe na equação que a soma de x com t é igual a 48. Vamos guardar essa informação.

O enunciado informa que o número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.

Bem, o número de pessoas que jogam xadrez é determinado pelo soma dos valores que estão contidos no diagrama X (veja acima).

O mesmo vale para a quantidade de pessoas que jogam tênis.

7 + 11 + 11 + t (número de pessoas que jogam xadrez).

9 + 11 + 11 + x (número de pessoas que jogam tênis).

Como estes números devem ser iguais, podemos escrever

7 + 11 + 11 + t = 9 + 11 + 11 + x <=>

<=> 29 + t = 31 + x <=>

<=> x = 29 – 31 + t <=>

<=> x = t – 2.

Daí, substituímos o valor de x na equação encontrada acima (x + t = 48).

x + t = 48 substituindo x = t – 2, vem

t – 2 + t = 48 <=>

<=> 2t = 48 + 2 <=>

<=> 2t = 50 <=>

<=> t = 50/2 = 25. (encontramos o valor de t!)

Como x = t – 2 e t = 25, substituindo…

x = 25 – 2 = 23. (encontramos o valor x!)

Assim, temos a quantidade de pessoas que praticam apenas uma modalidade.

  • 13, apenas vôlei.
  • 23, apenas xadrez.
  • 25, apenas tênis.

resolucao-problema-2-c

De posse desses números, podemos encontrar as respostas para as perguntas.

a) quantos jogam tênis e não jogam vôlei?

Olhe para o diagrama T e não conte as interseções com V.

25 + 11 = 36 pessoas que jogam tênis e não jogam vôlei.

b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?

Da mesma forma, some os valores que estão em X e T, mas desconsidere os valores que fazem interseção com V.

23 + 11 + 25 = 59 pessoas jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei.

c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

Agora, some os valores de V, mas desconsidere aqueles na interseção com X.

13 + 7 = 20 pessoas jogam vôlei e não jogam xadrez.

Viu como resolvemos o problema a partir das interseções, ou seja, de dentro para fora?

Continuando…

Problema 3.

Como 81 pessoas leem pelo menos uma das três revistas e 61 pessoas leem somente uma delas, então subtraindo 61 de 81 teremos como resultado a quantidade de pessoas que leem duas ou três revistas.

81 – 61 = 20 pessoas leem duas ou três revistas.

Agora, como 20 pessoas leem duas ou três revistas e 17 pessoas leem somente duas revistas, então subtraindo 17 de 20 teremos como resultado a quantidade de pessoas que leem três revistas.

20 – 17 = 3 pessoas leem as três revistas, isto é, são as pessoas mais bem informadas dentre as 81.

Você prestou atenção na palavra “somente”? Está percebendo como essas palavras (apenas, somente) aparecem em problemas de conjuntos?

Vamos para a próxima resolução!

Problema 4.

Aqui temos um problema envolvendo conjunto, onde teremos que julgar em certo ou errado a afirmação:

“Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B.”

De qualquer forma, realizaremos as operações com conjuntos.

Vamos retirar as informações do enunciado.

  • O total é de 1200 candidatos.
  • 600 deles se inscreveram para o cargo A.
  • 400 se inscreveram para o cargo B.
  • 400 para cargos distintos de A e de B, ou seja, 400 não se inscreveram para nenhum dos cargos A ou B.
  • Alguns que se inscreveram para o cargo A, também se inscreveram para o cargo B. Então vamos indicar por x a quantidade de candidatos que se inscreveram para A e B.

Veja que para julgarmos corretamente a afirmação, precisaremos descobrir o valor de x, pois ele indica a quantidade de elementos da interseção.

Se 600 candidatos se inscreveram para o cargo A e x candidatos se inscreveram para os cargos A e B, então o número de candidatos que se inscreveram para apenas o cargo A será dado por

600 – x.

Se 400 candidatos se inscreveram para o cargo B e x candidatos se inscreveram para os cargos A e B, então o número de candidatos que se inscreveram para apenas o cargo B será dado por

400 – x.

Veja nos diagramas abaixo.

resolucao-problema-4

Sabemos que a soma dos valores dos diagramas mais os 400 que não se inscreveram para nenhum dos cargos deve ser igual ao total (1200).

600 – x + 400 – x + x + 400 = 1200 <=>

<=> -x + 1400 = 1200 <=>

<=> 1400 – 1200 = x <=>

<=> 200 = x.

Então, 200 candidatos se inscreveram para ambos os cargos A e B.

E portanto, a afirmação está errada.

O problema é relativamente simples. Leia com atenção, separe as informações, trace uma estratégia de resolução e por último, verifique sua resposta.

Para saber mais sobre como resolver problemas, conheça o passo a passo lendo o artigo:

» 5 Dicas de Ouro para Você ter Sucesso ao Resolver Problemas de Matemática

Adiante!

Problema 5.

Retirando as informações do problema.

  • Temos um total de 43 vereadores.
  • 7 se inscreveram nas três comissões.
  • 12 se inscreveram apenas nas comissões de Educação (E) e Saúde (S).
  • 8 se inscreveram apenas nas comissões de Saúde (S) e Saneamento Básico (SB).
  • 13 não se inscreveram em nenhuma das comissões.
  • Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões.

Veja que com relação ao número de vereadores que se inscreveram para duas comissões, não precisamos nos preocupar com a subtração de vereadores que podem ter sido contados duas ou três vezes, pois o enunciado já nos informa que os vereadores se inscreveram para APENAS tais comissões.

Veja também, que não há vereadores inscritos em apenas uma comissão, portanto indicaremos por 0 (zero).

O enunciado também não informa quantos vereadores se inscreveram apenas nas comissões de Educação (E) e Saneamento Básico (SB), por isso, indicaremos essa quantidade por x.

Observe os diagramas abaixo.

resolucao-problema-5

Para responder a pergunta do problema, isto é, para determinar a quantidade de inscritos na comissão de Saneamento Básico, precisamos saber o valor de x.

A soma das quantidades (lembre-se dos 13 vereadores que não se inscreveram em nenhuma comissão) deve ser igual ao total de vereadores (43). Vamos desconsiderar os zeros.

x + 12 + 7 + 8 + 13 = 43 <=>

<=> x + 40 = 43 <=>

<=> x = 3.

Substituindo x por 3 no diagrama.

resolucao-problema-5-b

Agora, somamos os valores do diagrama SB.

3 + 7 + 8 + 0 = 18.

Portanto, são 18 vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico.

Você reparou que quando utilizamos diagramas de Venn a solução para a maioria dos problemas de conjuntos pode ser mais simples?

Seguinte!

Problema 6.

Esse problema envolve outro assunto além de conjuntos, a probabilidade.

Veja a pergunta do problema:

“Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?”

Para respondê-la, precisamos antes determinar a quantidade de alunos que não falam inglês e a quantidade de alunos que falam apenas espanhol.

Para isso, vamos utilizar a teoria dos conjuntos.

Temos as seguintes informações do enunciado:

  • Total de 1200 alunos.
  • 600 alunos falam inglês.
  • 500 falam espanhol.
  • 300 não falam nenhum dos dois idiomas.
  • Não foi informada a quantidade de alunos que falam ambos os idiomas, então indicaremos essa quantidade por x.

Vamos, primeiro, subtrair a interseção dos conjuntos, para não contarmos alunos duas vezes.

Se 600 alunos falam inglês e x alunos falam os dois idiomas, então a quantidade de alunos que falam apenas inglês é

600 – x.

Se 500 alunos falam espanhol e x alunos falam os dois idiomas, então a quantidade de alunos que falam apenas espanhol é

500 – x.

Veja nos diagramas abaixo.

resolucao-problema-6

A soma dos valores dos diagramas (mais 300 que não falam nenhum idioma) deve ser igual ao total de alunos.

600 – x + x + 500 – x + 300 = 1200 <=>

<=> 1400 – x = 1200 <=>

<=> x = 1400 – 1200 <=>

<=> x = 200.

Temos que 200 alunos falam ambos os idiomas.

Assim, conseguimos determinar quantos alunos falam apenas um idioma.

600 – 200 = 400 alunos falam apenas inglês.

500 – 200 = 300 alunos falam apenas espanhol.

resolucao-problema-6-b

O total de alunos é 1200 e 600 deles falam inglês, então a quantidade de alunos que não falam inglês é

1200 – 600 = 600 (espaço amostral/casos possíveis em probabilidade).

Lembre-se que temos um condição na pergunta, o aluno não deve falar inglês.

Logo, devemos considerar os alunos que falam apenas espanhol, cuja quantidade é 300 (casos favoráveis em probabilidade).

Portanto, a probabilidade (P) procurada é P = 300/600, simplificando…

P = 1/2.

Mais um problema simples, porém, envolve conceitos de dois assuntos básicos da Matemática.

Uma observação: você pode utilizar a fórmula do número de elementos da união de dois conjuntos para encontrar o número de alunos que falam ambos os idiomas, isto é, o número de elementos da interseção.

Veja a aplicação da fórmula nesse artigo aqui.

Vamos para a última resolução!

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Problema 7.

Há pelo menos dois modos de resolver esse problema, um com fórmulas e o outro sem fórmulas.

Apresentarei os dois modos.

1º Modo: sem fórmulas, utilizando diagramas de Venn.

Temos as seguintes informações do enunciado:

  • N(A U B U C) = 11
  • n(A U B) = 8
  • n(A U C) = 9
  • n(B U C) = 10
  • n(A ∩ B ∩ C) = 2

E o que o problema deseja saber é o valor de n(A) + n(B) + n(C).

Se o número de elementos da união dos três conjuntos é 11 e o número de elementos da união de A com B é 8, então o número de elementos que pertencem apenas a C é

11 – 8 = 3.

Ficou claro para você? Veja, da união dos três (A, B e C) estamos subtraindo a união de dois (A com B), logo restará apenas C.

Do mesmo modo, encontraremos as quantidades para apenas A e B.

Se o número de elementos da união dos três conjuntos é 11 e o número de elementos da união de A com C é 9, então o número de elementos que pertencem apenas a B é

11 – 9 = 2.

Se o número de elementos da união dos três conjuntos é 11 e o número de elementos da união de B com C é 10, então o número de elementos que pertencem apenas a A é

11 – 10 = 1.

Vamos colocar esses valores nos diagramas, mais a interseção dos três.

resolucao-problema-7-a

Como não sabemos os valores das interseções entre dois conjuntos, vamos indicar da seguinte forma:

n(A ∩ B) = x.

n(A ∩ C) = y.

n(B ∩ C) = z.

resolucao-problema-7-b

Sabemos que a soma dos valores dos diagrama deve ser igual 11 (união dos três) e daí escrevemos:

1 + 2 + 3 + x + y + z + 2 = 11 <=>

<=> x + y + z + 8 = 11 <=>

<=> = x + y + z = 3. (guarde essa informação!)

Agora, sabemos também que, por exemplo, o número de elementos do conjunto A é igual a soma dos seus elementos, e o mesmo vale para o número de elementos dos conjuntos B e C, certo?

Veja no diagrama acima.

n(A) = 1 + 2 + x + y = 3 + x + y.

n(B) = 2 + 2 + x + z = 4 + x + z.

n(C) = 2 + 3 + y + z = 5 + y + z.

Como o problema pede a soma n(A) + n(B) + n(C), substituindo os valores de n(A), n(B) e n(C), respectivamente, escrevemos que:

n(A) + n(B) + n(C) = 3 + x + y + 4 + x + z + 5 + y + z

n(A) + n(B) + n(C) = 12 + 2x + 2y + 2z

Colocando o fator comum 2 em evidência, temos

n(A) + n(B) + n(C) = = 12 + 2.(x + y + z)

Lembre-se que encontramos x + y + z = 3, então substituindo…

n(A) + n(B) + n(C) = 12 + 2.3 = 12 + 6 = 18.

Portanto, o valor de n(A) + n(B) + n(C) = 18.

2º Modo: utilizando fórmulas.

Nesse segundo modo de resolução, vamos utilizar duas fórmulas muito comuns na teoria dos conjuntos.

Número de elementos da união de dois conjuntos

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Número de elementos da união de três conjuntos

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Repetindo as informações do enunciado:

  • N(A U B U C) = 11
  • n(A U B) = 8
  • n(A U C) = 9
  • n(B U C) = 10
  • n(A ∩ B ∩ C) = 2

Como n(A U B) = 8 e n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), substituindo…

8 = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) <=>

<=> n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – 8. (guarde essa informação!)

De forma semelhante ao anterior,

como n(A U C) = 9 e n(A U C) = n(A) + n(C) – n(A ∩ C), substituindo…

9 = n(A) + n(C) – n(A ∩ C) <=>

<=> n(A ∩ C) = n(A) + n(C) – 9. (guarde essa informação!)

E,

como n(B U C) = 10 e n(B U C) = n(B) + n(C) – n(B ∩ C), substituindo…

10 = n(B) + n(C) – n(B ∩ C) <=>

<=> n(B ∩ C) = n(B) + n(C) – 10. (guarde essa informação!)

Obtemos três relações importantes referentes as interseções entre dois conjuntos:

n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – 8.

n(A ∩ C) = n(A) + n(C) – 9.

n(B ∩ C) = n(B) + n(C) – 10.

Com as informações do enunciado e estas três relações, vamos substituir na fórmula do número de elementos da união de três conjuntos. Assim:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

11 = n(A) + n(B) + n(C) – [n(A) + n(B) – 8] – [n(A) + n(C) – 9] – [n(B) + n(C) – 10] + 2 <=>

<=> 11 = n(A) + n(B) + n(C) – n(A) – n(B) + 8 – n(A) – n(C) + 9 – n(B) – n(C) + 10 + 2 <=>

<=> 11 = n(A) – n(A) – n(A) + n(B) – n(B) – n(B) + n(C) – n(C) – n(C) + 8 + 9 + 10 + 2 <=>

<=> 11 = – n(A) – n(B) – n(C) + 29 <=>

<=> n(A) + n(B) + n(C) = 29 – 11 <=>

<=> n(A) + n(B) + n(C) = 18.

Opa, chegamos ao mesmo valor!

Bem, os dois modos de resolução garantem a mesma resposta. Como sugestão, compreenda perfeitamente os dois e dedique-se mais ao raciocínio sem uso de fórmulas.

Conclusão: Você, Aprendendo Mais e Melhor

problemas de conjuntos 4

Faça uma reflexão sobre o que aprendeu. Se sentiu muita dificuldade, volte e estude mais um pouco.

Mas se, realmente, você não assimilou muita coisa, talvez, precise antes adquirir embasamento sobre conjuntos.

Para em seguida, retornar e resolver problemas de conjuntos.

De qualquer modo, espero que ao chegar até aqui, sua capacidade para resolver problemas de conjuntos tenha melhorado.

Espero também que, mesmo achando complicado o assunto, pois talvez você acredita que não leva jeito para a Matemática, esse post tenha te ajudado em algum aspecto relativo ao raciocínio lógico.

Por isso, fique a vontade para expressar sua opinião através dos comentários abaixo.

E que tal compartilhar esse artigo com um(a) amigo(a) que esteja precisando?


Fontes de Consulta:

Créditos Imagens: pixabay.com

10 Comentários


  1. Parabéns!!! Com suas explicações consegui ter uma visão muito maior da solução dos problemas. Obrigado. Carlos – Natal/RN

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    1. Disponha Carlos. Obrigado por comentar e utilize o site sempre que precisar, ok?

      Sucesso sempre!

      Responder

    1. Oi Benedito, tudo na paz?

      Valeu mesmo por sua atenção e por seu tempo. Fico feliz em saber que o conteúdo foi útil.

      Precisando, conte conosco.

      Forte Abraço!

      Responder

  2. Olá professor muito obrigada por disponibilizar estes materiais explicando paço a paço como resolver , antes eu ficava olhando todo aql material e pensava como resolver isso ficava chutando qual seria o resultado ,qnd dava o resultado e não era o q maginava ficava tão decepsionada pensava q era coisa de outro mundo , agora graças ao prof. Estou conseguindo é dificil , ainda mais pelo celular ,por este motivo q prefiro obter os materiais para estudar pelo computador aqui onde moro não pega sinal de internet fica msis dificil , os video são excelente, pelo celular não da pra assistir quase nada.

    Responder

    1. Oi Maria José, como vai?

      Bom, primeiro muito obrigado por seu comentário. É sensacional saber que estamos ajudando.

      Como você mesmo descreve, não é coisa do outro mundo, com certeza através do seu esforço muito antes do que imagina conseguirá atingir seu objetivo.

      Não é fácil, mas também não é impossível e mais, se fosse fácil, todos conseguiriam, não é?

      Agora, tenho uma pergunta: você disse que por celular não dá pra assistir quase nada, então o melhor são as aulas escritas, certo? Acho que vídeo consome mais banda de internet.

      Então, qual o melhor formato de conteúdo pra você e os demais (pra quem quiser responder também), artigo (escrito) ou vídeo?

      Um abraço e tudo de bom!

      Responder

  3. Show de bola, seu metodo didatico é excelente, parabens professor

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    1. Opa João, tudo certo? Que bom que gostou. Espero que tenha sido útil. Obrigado por comentar e pelos elogios. Forte Abraço!

      Responder

  4. muito interessante estou satisfeito com as informações obrigado

    Responder

    1. Oi Silva, obrigado por comentar. É ótimo saber que o conteúdo satisfez sua necessidade. Abraço!

      Responder

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