Mínimo Múltiplo Comum para Concursos: Tudo o que Você Precisa Saber para Resolver Questões de Provas

Dois viajantes de uma firma saem a serviço no mesmo dia. O primeiro faz viagens de 15 em 15 dias e o segundo, de 18 em 18 dias.

Depois de quantos dias sairão juntos novamente?

Por acaso você tem dificuldade para resolver este tipo de problema?

Já estudou sobre o assunto, mas não lembra?

Pois é, continue lendo o artigo que você vai aprender a resolver este tipo de questão muito em breve, aprendendo somente o que precisa saber para se dar bem em provas.

Neste artigo, vamos abordar um tema que é importantíssimo para concursos, o mínimo múltiplo comum (mmc) que tem muita aplicação na Matemática!

Vamos apresentar dois métodos práticos para determiná-lo e em um outro artigo, vamos resolver diversas questões que já caíram em concursos passados.

Veja abaixo nossa primeira aula sobre mmc, onde primeiro mostramos como encontrar um mútliplo de um número natural. Depois, o primeiro processo prático para determinar o mmc, além do mais, lhe explicamos o que é o mmc.

Múltiplos de um Número Natural

Vamos começar com um exemplo! Observe a sequência de números abaixo.

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …

Repare que ela tem um padrão matemático de formação, com certeza você consegue me dizer qual seria o próximo número após o 18. Muito bem! Isso mesmo, é o 21. E por aí vai!

Veja o seguinte, vamos multiplicar o número 3 pelo 0, 1, 2, 3, 4, … assim por diante.

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Percebeu que ao multiplicar o 3 pelos números 0, 1, 2, … obtemos 0, 3, 6, 9, … que são números denominados múltiplos de 3. Formam o conjunto dos números múltiplos de 3. O padrão da sequência é justamente esse! Veja que o próximo número a partir do 0, é obtido somando 3 ao antecessor.

Então, ao ser perguntando para descrever o conjunto dos múltiplos de 5, agora que você já sabe, responderá {0, 5, 10, 15, 20, 25, …}.

Viu como é fácil determinar o conjunto dos múltiplos de um número natural!

Algumas conclusões sobre o conjunto dos múltiplos de um número natural:

– O zero é múltiplo de qualquer número.

Veja nos dois exemplos acima que o zero aparece nos dois conjuntos. Isso vale para os outros também!

– Todo número é múltiplo de um e de si mesmo.

O 5 é multiplo de um? Sim! Por que 1 vezes 5 é igual a 5. O 3 é múltiplo de si mesmo? Sim! Por que  3 vezes 1 igual a 3.

– O conjunto dos múltiplos de um número é infinito.

Mais um exemplo!

Dado o conjunto {0, 1, 2, 3, …, 29, 30}, quais são os múltiplos de 7? E de 30?

Bem, no conjunto acima, a reticências indica que temos um continuação de números seguindo o padrão, portanto, os múltiplos de 7 são 0, 7, 14, 21 e 28.

Agora, os múltiplos de 30 são … 0 e 30 somente!

Está com alguma dúvida até aqui? Então, comente!

Agora que você já sabe determinar quais são os múltiplos de um número natural, vamos aprender sobre o mínimo múltiplo comum – mmc.

Mínimo Múltiplo Comum – MMC

Mínimo – significa menor.

Múltiplo – número que pode ser obtido pelo produto de dois números naturais como descrito acima, com exemplos.

Comum – neste caso, é o número que é múltiplo ao mesmo tempo de dois ou mais números naturais. Nos exemplos acima, 15 é múltiplo comum de 3 e 5.

Vejamos com um exemplo!

Qual é o menor número que é múltiplo de 2 e 3 (ao mesmo tempo, comum)?

Verificando os múltiplos de 2 (M2) e 3 (M3).

M2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …}

M3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, …}

Agora, vamos ver quais desses são comuns:

{0, 6, 12, …} é claro que existem mais múltiplos de 2 e 3 comuns, mas não precisamos listar todos, pois queremos o menor.

Você deve ter percebido que o menor é o zero e sempre será, coisa sem graça, não? É por isso que vamos considerar o menor múltiplo diferente de zero. Toda vez que você for perguntado sobre o mmc entre dois ou mais números naturais, considere o mmc diferente de zero.

Então, no exemplo, o menor número que é múltiplo comum de 2 e 3 é o 6. Desta forma, dizemos que o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3 é 6.

Escrevemos mmc(2,3) = 6.

Mas a pergunta que faço é a seguinte: e se fossem dois ou mais números “grandes”, como determinar o mmc de forma prática, sem ter que ficar descrevendo todos os múltiplos? Até por que, numa prova você não terá muito tempo para ficar descrevendo!

É por este motivo que vamos aprender o primeiro processo prático para determinar o mmc entre dois ou mais números naturais.

Primeiro Processo Prático para Determinação do MMC

Por decomposição em fatores primos

Regra: decompõe-se os números em fatores primos, cada um, separadamente. Em seguida, obtém-se o mmc fazendo o produto dos fatores comuns e não-comuns elevados aos maiores expoentes.

Exemplo 1: determine o mmc entre 60 e 315.

Resolução: seguindo a regra, vamos decompor os números acima em fatores primos.

Decomposição em fatores primos

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315 = 32. 5 . 7 e 60 = 22 . 3 . 5

Fatores comuns: 3 e 5. Devemos considerar os de maiores expoentes. Logo consideraremos 32 e 5 (pois, só tem o 5).

Fatores não-comuns: 2 e 7. Novamente, devemos considerar os de maiores expoentes. Logo, consideraremos 22 e 7 (pois, só temos estes).

Fazendo o produto, o mmc(60,315) = 22.32.5.7 = 4.9.5.7 = 1260.

Viu como é simples! Basta seguir a regra. Mas, vamos ainda fazer outro exemplo!

Exemplo 2: Determine o mmc entre 30, 48 e 120.

Resolução: vamos decompor os números acima em fatores primos.

image

30 = 2.3.5

48 = 24.3

120 = 23.3.5

Fatores comuns: 2 e 3. Consideramos os de maiores expoentes, logo 24 e 3.

Fatores não-comuns: somente o 5.

Portanto, o mmc(30, 48, 120) = 24.3.5 = 240.

Agora que já sabemos o primeiro processo prático para determinar o mmc, vamos praticar!

Baseando-se nos dois exemplos acima, resolva as questões abaixo.

É com você, tenha fé! :-)

1. Determine o mmc entre

a) 20 e 25       b) 50 e 75         c) 60, 35 e 48

2. Se A = 23 x 5 x 7, B = 2 x 32 x 5 e C = 22 x 3 x 11 determine o mmc(A,B,C).

Conclusão

Nesta aula aprendemos a encontrar os múltiplos de um número natural. Percebendo que o zero só tem como múltiplo o próprio zero. Se um determinado número p é múltiplo de um número q, então p é divisível por q. Exemplo, 91 é múltiplo de 7, então 91 é divisível por 7, a saber,  91/7 = 13.

Aprendemos o primeiro processo prático para determinar o mmc entre dois ou mais números naturais, através da decomposição em fatores primos separadamente de cada número. Se ainda tem dúvida, volte e estude novamente. Mas se ainda persistir, comente.

Nos próximos artigos, vamos aprender um segundo processo prático para determinar o mmc e veremos diversas questões de concursos com aplicação do mmc.

Como calcular o mmc – parte 2.

Aliás, você já sabe calcular o mdc? Se não, dê um olhada no artigo abaixo.

Como calcular o mdc.

Já ia me esquecendo, aqui está o gabarito dos exercícios acima!

1. a)100 b) 150 c) 1680 2. 27720

Um forte abraço e boa aprendizagem, caso tenha dúvidas fique a vontade para comentar! :-)

45 Comentários


  1. Dois viajantes de uma firma saem a serviço no mesmo dia. O primeiro faz viagens de 15 em 15 dias e o segundo, de 18 em 18 dias.

    Depois de quantos dias sairão juntos novamente?
    Os mesmos saem juntos a cada 90 dias?


    1. Oi Ariadne, como vai?

      Para encontrar a resposta desse problema, basta utilizar o conceito de mmc. Primeiro, compreenda muito bem esse conceito, ok? Depois, veja estes exercícios aqui.

      Espero que ajude.

      Abraço!


  2. Excelente professor e excelentes aulas.Um mestre..
    Não consegui responder a questão dos dois viajantes..Poderia ajudar professor?


    1. Obrigado pelo comentário Ariadne. Qual a sua dúvida?


  3. Boa noite Prof.
    Não consegui chegar no resultado do exercício 2.
    Você pode fazer o passo a passo da resolução por favor?

    Obrigada e parabéns pelo ótimo trabalho.


    1. Querida Bianca, observe que nesse caso os números (A, B, e C) já estão fatorados. Utilize a regra demonstrada acima (estude os exemplos). Tenho certeza que chegará a resposta correta. Abraço!


  4. nao entendi o grafico de decomposiçao


  5. Muito obrigado professor, isso me ajudou bastante!!


    1. Disponha, Vitoria. Abraço!


  6. Professor eu tenho dificuldade em tudo de matemática me ensina por favor eu sou meia desligada na matemática


    1. Isabelly, tendo dúvidas, comente. Abraço.


  7. li e reli a questão 1 e não consegui entende a)20 e 25 nessa conta a minha resposta deu (5)tire a minha duvida desde de já grata


    1. Rosangela, estude novamente o artigo. (Re)faça os exemplos numa folha. Abraço!


  8. eu queria saber como se faz mmc atraves da decomposiçao


    1. Enzo, por favor, leia (estude) o artigo. É justamente isso que procuramos ensinar. Abraço!


  9. Olá professor , tenho muita dificuldade de fazer contas de mmc , pq parei de estudar no 6° ano . Pq vim para o Brasil , sou da Alemanha , e tenha tanta dificuldade que o senhor nem imagina , estou no 9 ° ano e preciso muito aprender o mmc e eu não sei , me ajude !!!!!!


    1. Meggan, siga as instruções no artigo. Tendo dúvidas é só comentar, ok? Abraço!


  10. professor, muito obrigado por disponibilizar gratuitamente esse seu conhecimento…sou muitíssimo agradecido por isso.
    Até mais!!


    1. Nós é que agradecemos por suas palavras, Matheus. Continue em frente, abraço!


  11. É que vou tentar entrar num cursinho preparatorio para vestibular e a prova é baseada em matematica básica


  12. Prof, parabéns pelo ensino e pela explicaçao. Bom, tenho uma duvida, em relacao a matematica em geral. Quando se fala em matematica básica, pode-se exempleficar como sendo as operacoes de fraçao, porcentagem, probabilidade, permutacao, analise combinatoria e regra de tres?


    1. Oi Sara, a Matemática Básica é a Matemática do ensino fundamental e médio (ensino de direito e dever de todos), ok? Mas em concursos nem tudo cai, por isso tem se que atentar para o edital (programa). Abraço.


  13. é quazi parecido com o mdc né ? ou não


    1. Euller, siga as instruções do artigo, confira os outros links e você descobrirá a diferença entre mdc e mmc. Abraço.


  14. professor não consegue fazer fracão, já tentei mas sem chance


  15. EU GOSTO MUITO DE MMC A MINHA FILHA APRENDEU


    1. Bom saber disso Leonardo, muito obrigado. Sucesso sempre.


  16. Obrigada por responder e pela correção, professor Thieres Machado, isso ajudará outros estudantes e concurseiros que buscam seu site para estudar. Pensei que pudesse ter ocorrido um erro na digitação ou coisa do tipo, e não erro do senhor (como ficou claro com sua resposta).

    Grata


    1. Elizabeth,

      disponha sempre! Nós é que agradecemos pela sua visita e participação.

      Sucesso!


  17. Olá, professor.

    Como eu não conseguia chegar a resposta correta da questão 2, fatorei a resposta dada dessa questão:27720. O resultado da fatoração me fez enxergar o erro.
    Na letra A da questão 2, ao invés de 23 (com o 3 sendo unidade) o correto é 2 elevado ao cubo.
    Na letra B da mesma questão, ao invés de 32 (com o 2 sendo unidade) o correto é 3 elevado ao quadrado.
    Na letra B, ao invés de 22 (com o 2 sendo unidade) o correto é 2 elevado ao quadrado.

    Esses detalhes fazem muita diferença.


    1. Elizabeth,

      como já explicado em outro comentário, já corrigimos.

      Parabéns pela sua atitude em procurar a resposta por si só. Isso é de fato estudar, procurar aprender por todos os meios. Agindo dessa forma você está sendo uma estudante proativa, que busca pela solução. Qualidade pouco desenvolvida na maioria dos estudantes.

      Valeu mais uma vez :-) Qualquer dúvida comente!

      Sucesso!


  18. olá.
    Não consigo resolver a questão 2.

    Fiz da seguinte forma.
    Deixei os fatores da Letra B e C em fatores primo:
    A=23x5x7 B=2(6)x5 C=11(2)x3x2

    Pela regra que diz que o m.m.c. deve ser o produto dos fatores comuns e não comuns ELEVADOS AO MAIOR EXPOENTE, cheguei a seguinte expressão:
    23x5x7x2(6)x3x11(2) = 23x5x7x64x3x121

    O resultado dessa última expressão não bate com o do gabarito.
    Me corrija, errei mas não estou conseguindo ver o erro.

    Grata.


    1. Elizabeth,

      a questão possuía um erro de digitação. O que ocorreu é que diversos artigos do blog passaram por uma nova formatação, claro que procuramos corrigir todos, mas sempre passa algum.

      Mas com a sua observação, já corrigimos. Muito obrigado pela participação :-) e desculpe por ter causado tanta dúvida.

      Se ainda tiver dúvidas, comente!

      Tudo de bom!


  19. Thieres , mil perdões….a resposta q fiquei em dúvida, foi a letra B…a C eu fiz e está de acordo..

    Obrigada novamente..


    1. Shirley,

      tranquilo! Mas qual foi sua dúvida na B? De fato, o mmc(50,75) = 150.

      Abraço.


  20. ola,

    Dúvida na questão abaixo, letra C….pq o resultado deu 150??.

    Determine o mmc entre

    a) 20 e 25 b) 50 e 75 c) 60, 35 e 48

    Obrigada..


    1. Shirley,

      por favor, olhe novamente a resposta, pois a resposta da c) é 1680.

      Abraço.


  21. Antes de qualquer coisa quero dizer que estou adorando suas explicaçoes, porem nao consegui resolver a letra C da primeira questao, tampouco a segunda questao,obg. e fique com Deus.


    1. Adriana,

      obrigado pela visita ao blog e também pelo seu comentário. Com relação as suas dúvidas, por favor, seja mais específica sobre em que pontos está tendo dificuldades.

      Veja que a letra C tem três números, é semelhante ao exemplo 2. O número 2, observe que os números (B e C) possuem fatores que não são primos e precisam ser decompostos.

      Exemplo:
      B = 2x32x5, onde 32 = 2x2x2x2x2
      B = 2x2x2x2x2x2x5 e portanto,
      \displaystyle B=2.32.5={{2.2}^{5}}.5={{2}^{6}}.5.
      Veja, agora sim, o número B está decomposto em fatores primos. Observe o C e prossiga no processo de encontrar o mmc.

      Comente sua dúvida,
      abraço.


  22. Professo Thieres, nao consigo copiar seus exercicios e dicas. Por favor como fazer para copiar para o Word?? Obrigado.


  23. Estou recebendo muitas dicas em meu email. Quero agradeçer. O senhor tem uma excelente didática. Um excelente professor. Suas aulas estao me ajudando muito para concursos. MUITO OBRIGADO PROFESSOR THIERES MACHADO. DEUS O ILUMINE SEMPRE. EDSON G SILVA.


    1. Edson,

      muito obrigado pelos elogios, eles são mais do que incentivos para continuar o trabalho no blog. Muito obrigado mesmo!

      Está função de copiar os exercícios não está disponível no blog, mas você pode imprimir se quiser, basta clicar no link da impressora na parte superior direita do post. Qualquer dúvida comente.

      Um forte abraço e sucesso! :-)


  24. QUERO AGRADECER SUA AJUDA, O SITE É OTIMO PARA CONCURSOS….


    1. Wagner,

      muito obrigado pelo elogio ao blog! Fico feliz em contribuir para o alcance de seus objetivos.

      Obrigado pela visita e sucesso sempre! :-)

Comentários encerrados.