Exercícios sobre Noções de Conjuntos

Mais uma série de exercícios no Blog Cálculo Básico. Desta vez, aproveitamos para resolver passo a passo exercícios sobre conjuntos, mais precisamente sobre noções de conjuntos.

Acreditamos que este assunto deve fazer parte do seu estudo, pois é muito cobrado em provas e concursos, constantemente abordado dentro do tema raciocínio lógico quantitativo.

Nos exercícios abaixo, você vai encontrar questões envolvendo relação de pertinência, operações com conjuntos (união, interseção, diferença) e problemas envolvendo toda teoria básica.

Aqui vai uma dica:

Se você já tem uma boa base relativa a teoria sobre noções de conjuntos, tudo bem, pode começar a fazer os exercícios.

Agora se você ainda não sabe nem como representar um conjunto, não conhece a simbologia comumente usada, como sugestão, procure aprender a parte teórica antes.

Nos exercícios, fazemos uso das propriedade de conjuntos, subconjuntos e diversas técnicas de resolução que pensamos ser melhor para a sua compreensão e aprendizagem.

Voltamos a dizer:

este artigo não tem como objetivo oferecer uma explanação teórica sobre o tema em questão.

Continue lendo para saber mais sobre os exercícios e as respectivas resoluções.

“Paciência e perseverança tem o efeito mágico de fazer as dificuldades desaparecerem e os obstáculos sumirem.” ~ John Quincy Adams

Enunciados dos Exercícios sobre Conjuntos

1. Seja A = { 1, {2}, {1,2} }. Considere as afirmações:

(I) 1 \displaystyle \in A

(II) 2 \displaystyle \in A

(III) \displaystyle \varnothing \subset A

(IV) {1,2} \displaystyle \subset A

Estão corretas as afirmações:

A) I e II

B) I e III

C) III e IV

D) III

E) I

2. Sabendo que A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 6, 7, 8, 9}, podemos afirmar que o conjunto (A \displaystyle \cap B) \displaystyle \cup C é:

A) {1, 4}

B) {1, 4, 6, 7}

C) {1, 4, 5, 6}

D) {1, 4, 6, 7, 8, 9}

3. José Carlos e Marlene são os pais de Valéria. A família quer viajar nas férias de julho. José Carlos conseguiu tirar suas férias na fábrica do dia 2 ao dia 28. Marlene obteve licença no escritório de 5 a 30. As férias de Valéria na escola vão de 1 a 25. Durante quantos dias a família poderá viajar sem faltar as suas obrigações?

A) 19

B) 20

C) 21

D) 22

4.(UNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e História é:

A) exatamente 16

B) exatamente 10

C) no máximo 6

D) no mínimo 6

E) exatamente 18

5.(PUC) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10 destas pessoas não usam o produto B e que 2 destas pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

Soluções dos Exercícios

A seguir apresentamos as resoluções das questões.

Em questões de conjuntos, é muito comum o uso das palavras “apenas” e “somente”, bem como os conectivos “e” e “ou”, fique atento(a) quanto ao seu uso.

Nesse artigo aqui tem mais dicas sobre o que fazer com relação a tais palavras e mais diversos problemas resolvidos com diagrama de venn.

Exercício 1.

Um ponto importante para chegar a resposta correta desta questão é ter em mente o que é relação de pertinência e sobre a relação entre um subconjunto e conjunto.

A relação de pertinência é usada somente para relacionar o elemento e seu conjunto. Utilizamos para isso o símbolo \displaystyle \in (lê-se: pertence).

Para relacionar subconjunto e conjunto, usamos o símbolo \displaystyle \subset (lê-se: está contido), ou seja, sempre que um conjunto está contido em outro, utilizamos tal símbolo.

Claro que o contexto envolvendo a questão deve ser analisado antes, como veremos a seguir na resolução

Analisaremos item por item.

(I) Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado (pertence) para relacionar está correto, então o item I é verdadeiro.

(II) Repare que 2 não é elemento do conjunto A, então ele não pertence a A, logo o item II não está correto. Observe que {2} é elemento de A. Nesse ponto, chamamos a atenção para o fato de que {2} é um conjunto, já que está entre chaves, que é um elemento de A.

Há uma diferença entre 2 e {2}, espero que tenha percebido. O item IV é semelhante.

(III) Uma das propriedades de inclusão (por definição de subconjunto) diz o seguinte: o \displaystyle \varnothing (vazio) está contido em qualquer conjunto. Portanto, o item III está correto.

(IV) Mais uma vez temos que {1,2} é um elemento de A e não um subconjunto, logo a afirmação não está correta, pois deveria ser usado o símbolo de pertence. Neste caso, o símbolo estaria correto se, ao invés de {1,2} tivéssemos {{1,2}} (subconjunto 1,2).

Temos que somente os itens I e III estão corretos.

Observação: caso você tenha dificuldade para compreender as relações que existem entre um conjunto, elemento e subconjunto estude um pouco mais sobre relação de pertinência e subconjuntos.

Exercício 2.

O exercício pede o conjunto (A \displaystyle \cap B) \displaystyle \cup C, “A interseção B união C”.

Sendo que a relação entre parênteses (interseção) precede a que está fora (união), deve ser realizada antes.

(A \displaystyle \cap B), o conjunto “A interseção B” é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B, que são comuns aos dois conjuntos.

A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6}.

(A \displaystyle \cap B) = { 4 }.

Como já obtemos o conjunto “A interseção B”, {4}. Vamos agora realizar a união com C.

O conjunto união (reunião) é formado por todos os elementos que pertencem a um ou a outro conjunto. Todos os elementos dos conjuntos fazem para do conjunto união e não precisa repetir o mesmo elemento.

(A \displaystyle \cap B) = { 4 } e C = {1, 6, 7, 8, 9}.

(A \displaystyle \cap B) \displaystyle \cup C = {1, 4, 6, 7, 8, 9}.

Exercício 3.

A resposta para a pergunta deste problema será dada pela interseção dos dias em que cada um poderá faltar sua obrigações. Vejamos:

José Carlos = { 2, 3, 4, 5, …,25, 26, 27, 28 }.

Marlene = { 5, 6, 7, …, 25, 26, 27, 28, 29, 30 }.

Valéria = { 1, 2, 3, 4, 5, …, 25 }

Repare que Marlene só terá licença a partir do dia 5, antes não poderá já que José Carlos e Valéria podem, logo os membros da família só poderão iniciar as férias juntos a partir do dia 5.

Veja que as férias de Valéria terminam no dia 25, logo os membros da família só poderão ficar juntos até dia 25.

Os dias em que a família poderá viajar sem faltar as obrigações vão do dia 5 ao dia 25.

{5, 6, 7, …, 23, 24, 25}, temos um total de 21 dias.

Observação: ao realizar o cálculo da quantidade de dias, tenha atenção para não excluir o dia 5 realizando o seguinte cálculo: 25 – 5 = 20. Deste modo você exclui um dia (5) e está errado já que o dia 5 entra, ok?

Para você calcular a quantidade de números naturais num intervalo dado basta seguir o seguinte método:

(número final) – (número inicial) + 1.

Como exemplo, vamos calcular a quantidade de (dias) números naturais de 5 a 25.

Número final = 25, número inicial = 5.

25 – 5 + 1 = 21.

Exercício 4.

Sejam n(M) e n(H) o número de alunos que gostam de Matemática e História, respectivamente.

n(M U H) = número de alunos que gostam de Matemática ou História (união).

n(M \displaystyle \cap H) = número de alunos que gostam de Matemática e História (interseção).

Do problema temos: n(M) = 16, n(H) = 20 e n(M U H) = 30.

O número de elementos da união de dois conjuntos finitos (no caso n(M U H)) é dado por:

n(M U H) = n(M) + n(H) – n(M \displaystyle \cap H), fazendo a substituição dos valores.

30 = 16 + 20 – n(M \displaystyle \cap H) <=> n(M \displaystyle \cap H) = 36 – 30 <=> n(M \displaystyle \cap H) = 6.

Bem, com isso chegamos ao resultado de que o número de alunos que gostam de Matemática e História é igual a 6. Mas, se repararmos nas alternativas, não há esta opção.

E agora?

Ficamos então em dúvida se marcamos a alternativa C) no máximo 6 ou D) no mínimo 6.

Repare o seguinte:

em nossos cálculos acima, consideramos que todos os alunos (30) gostam de pelo menos uma matéria, ok?

Mas, em momento algum o problema diz isso no enunciado, concorda?

Pode haver alunos que não gostam de nenhuma das matérias :-) e isso aumentaria o número de alunos que gostam de ambas.

Exemplo: suponha que 1 aluno não goste de Matemática, nem de História.

30 – 1 = 29, isto quer dizer que 29 alunos gostam de Matemática ou História.

Refazendo os cálculos acima para o valor 29, teremos: 36 – 29 = 7 alunos gostam de Matemática e História.

Portanto, o número de alunos que gostam de Matemática ou História deve ser menor ou igual a 30, pois pode haver alunos que não gostam de ambas.

n(M U H) \displaystyle \le 30 <=>

n(M) + n(H) – n(M \displaystyle \cap H) \displaystyle \le 30. Fazendo as substituições.

16 + 20 – n(M \displaystyle \cap H) \displaystyle \le 30 <=> 36 – 30 \displaystyle \le n(M \displaystyle \cap H) <=> 6 \displaystyle \le n(M \displaystyle \cap H) ou n(M \displaystyle \cap H) \displaystyle \ge 6.

Logo, o número de alunos que gostam de Matemática e História deve ser no mínimo 6.

Exercício 5.

Como 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B, temos o seguinte:

10 pessoas não usam o produto B, então elas usam o produto A.

Total de pessoas que usam só A = 10 pessoas.

2 pessoas não usam o produto A, então elas usam o produto B.

Total de pessoas que usam só B = 2 pessoas.

Seja x o número de pessoas que utilizam os produtos A e B (ambos).

Temos que o número de pessoas que usam o produto A, mais o número de pessoas que usam o produto B, mais o número de pessoas que usam ambos deve ser igual a 15 (já que pelo menos um dos produtos é utilizado). Veja:

(nº de pessoas que usam só A) + (nº pessoas que usam só B) + x = 15

10 + 2 + x = 15 <=> x = 3 pessoas.

O número de pessoas que utilizam os produtos A e B é igual 3 pessoas.

Chegamos ao final de mais uma série de exercícios resolvidos.

Esta série de exercícios sobre noções de conjuntos não aborda toda a teoria envolvida no assunto, continue acompanhando o blog para ficar por dentro dos próximos artigos, pois estamos sempre publicando artigos relevantes sobre os temas envolvidos.

Caso tenha interesse em mais exercícios para aprofundar e fixar os conceitos desenvolvidos veja o seguinte artigo, pois nele, disponibilizamos uma lista de exercícios para download:

Exercícios sobre Noções de Conjuntos e Conjuntos Numéricos

Caso tenha ficado com alguma dúvida ou deseja fazer alguma sugestão bem como deixar seu ponto de vista sobre o artigo, fique a vontade para comentar.

Acreditamos que com sua participação podemos melhorar cada vez mais a qualidade dos artigos e assim contribuir para a conquista de seus objetivos.

Aguardamos seu comentário!

Grande Abraço!

106 Comentários


  1. professor na questão 1 o {2}, {1,2} não deveriam estar em ( ) ao invés de { } ?


    1. Oi Cassiano,

      normalmente não representamos os elementos de um conjunto entre parênteses, exceto, quando são pares ordenados e outros casos específicos. Neste caso, o enunciado da questão é exatamente dessa forma. Como sugestão, procure estudar um pouco mais sobre notação de conjuntos e, na resolução da questão falo um pouco mais sobre.

      Abraço!


      1. valeu professor você me ajudou muito mas eu n entendi a pergunta 3 a resposta não deveria ter sido 20 dia de ferias


  2. obrigada professor!!!
    os exercícios são ótimos por virem com a resolução!
    estão me ajudando muito!!

    Sucesso!


    1. Que ótimo saber que estamos ajudando, Ana. Aproveite sempre que precisar.

      Tudo de bom :)


  3. Esses exercicios estão me ajudando bastante a compreender o assunto passado na faculdade em que estudo. muito otimo.


    1. Que ótimo Josiel. Sucesso na faculdade!


  4. Professor esse execício me ajudou bastante sera que poderia colocar mais exercícios desses hoje ou amanhã por que estou precisando muito…agradecido


  5. Thieres, adorei esse seu artigo. Entretanto me restou uma dúvida, na questão 4, entendi que 6 é o mínimo, agora como eu encontro o valor máximo para essa intercessão? Fora a dúvida esse foi o melhor artigo que eu li sobre o assunto vc está de parabéns.


    1. Oi João, muito obrigado pelos elogios.

      Sobre o valor máximo, verifique a quantidade de alunos que gostam das matérias e veja até que limite temos o valor máximo sem prejudicar as outras quantidades.

      Abraço!


  6. Olá, fiquei com dúvida no exercício 4, se 14 alunos não gostam de matemática e 10 não gostam de história​, isso totaliza 24 alunos que não gostam de uma das matérias, sobrando apenas 6, desses 6 pode ser que algum deles não goste de nenhuma… Então a resposta não seria no máximo 6 pessoas? Como poderia ser no mínimo 6 se 24 delas é certeza que não gosta de uma delas? Se puder me ajudar, agradeço.


    1. Oi kellyn, estude a resolução da questão fazendo esses questionamentos a medida que estuda e se ainda tiver, comente novamente, ok?

      Abraço!


  7. Cara valeu ai ajudou bastante !!!
    É muito difícil acha sites que explique certinho vlw tmj


    1. Valeu Mateus por participar. Obrigado e conte conosco. Abraço!


  8. A INTERCESSÃO B e A U B não seria 1,2,3,4,6,7,8,9 , ja que 1 e 2 tambem fazem parte do conjunto A?


    1. Opa Bruno, tudo beleza? Dê mais uma olhada na resolução e observe como são realizadas as operações. Abraço!


    2. Poxa professor, estou desde as 11h estudando conjuntos (agora são 18:30) e só acertei 2 exercícios o 2) e o 5), fiquei bem triste porque cai nas pegadinhas….
      Tipo a 3) eu botei ’20’ e não ’21’ pensando tá super certo…
      E a 4) eu errei porque botei no máximo 6
      E a 1) errei por não ter considerado o conjunto vazio…

      super decepcionado comigo, mas obrigado por compartilhar os exercícios
      Acho que é difícil ensinar truques novos pra um cachorro velho, abração!


  9. cai na prova ESSA com frequência este assunto?
    Muito bom!! tem mais? :D
    ficA com Deus, abrss..


    1. prova da “ESsA”


    2. pow mano, muito obrigado pelos exercícios, faço Licenciatura em Educação Física, e confesso que reviver esses assuntos foram para mim mais difíceis que muitas disciplinas. Irei prestar concurso à nível fundamental completo, valeu pelas dicas!


      1. Valeu Beto, aproveite sempre que precisar, ok? Sucesso no concurso!


  10. Oi adorei as explicações dos exercícios, extremamente completa e rica. Como sugestão, eu gostaria de ver aqui mais exercícios comentados de vestibulares importantes como o da UnB. Muito obrigada e continua a fazer este lindo trabalho. São sites assim que estimulam os alunos a continuar estudando e a cada dia realizar uma nova conquista. Parabéns!


    1. Oi Jennifer, tudo tranquilo? Muito obrigado por suas belas palavras. Sua sugestão está anotada, obrigado. Aproveite o blog sempre que precisar, ok? Tudo de bom!


  11. Gostei muito de ter visitado o seu blog, porque tive a solucao das duvidas que eu tinha. Muito obrigado, sucessos!


    1. Valeu Filipe. Aproveite sempre que precisar, ok? Abraço!


  12. você é simplesmente maravilhoso você fez eu perceber que conjuntos não era nada aquilo que eu tava pensando que um pequeno descuido de analise faz você errar a questão…. Muito obrigada mesmo você ME AJUDOU BASTANTE…. O MUNDO PRECISA DE MAIS PESSOAS COMO VOCÊ


    1. Opa Karen, tudo na paz? A ideia é essa mesmo: perceber que o bicho não é tão feio assim (rsrsrs). Alguns problemas são mais complexos do que outros e poderemos ter alguma dificuldade e isso é normal. Mas as maioria dos problemas não têm nível de dificuldade alto. Na maioria dos casos é nosso embasamento mesmo. Continue firme se esforçando que você só tem a ganhar. Sucesso!


  13. Muito obrigado por sua ajuda,sou de Moçambique e consegui eliminar todas as minhas dúvidas,precisamos de professores que saibam explicar de maneira perfeita assim. Estás de parabéns


    1. Obrigado Tatiana, é sempre bom saber que estamos ajudando. Utilize o blog sempre que precisar, ok? Um forte abraço pra você e todos de Moçambique!


  14. ola professor eu amei os exercícios, entende muito bem … fiz os exercícios em casa sem ver as respostas é acertei 3… não é bom mais to no caminho. obrigada


    1. Muito bom Julia. Com esforço é possível melhorar cada vez mais. Obrigado por comentar. Tudo de bom!


  15. Olá professor. Eu amei os exercícios e consegui entender as resoluções de forma rápida.
    Mas eu não entendi uma coisinha só no primeiro exercício: se a união dos conjuntos é a junção de todos os seus elementos porquê que o 2 e 3 não entram na resolução?
    Obrigada desde já. E votos de uma boa semana


    1. Rocha, verifique por favor sua dúvida, no primeiro exercício não tem o número 3.


  16. Muito Obrigada Pela ajuda!!!
    Eu tenho muitos problemas em entender o enunciado do exercicio para poder transforma-lo, e seus exercicios comentados ajudam e muito quem também tem essa dificuldade.
    Ótimo blog, e ótimo trabalho, parabéns!


    1. Que isso Laura, disponha! Nós acreditamos no seguinte: como foco, paciência e persistência é possível aprender, é possível mudar, é possível atingir resultados espetaculares. Você está cada dia melhor. Conte conosco e muito obrigado pela confiança. Sucesso sempre!


  17. Professor! eu sou professor de Matematica e adoro os exercicios que voce sugere, continue porque estou convencido que muita gente curte suas materias.


    1. Caio, nós é que agradecemos seu comentário. Abraço!


  18. Olá, professor ótimo trabalho,parabéns.
    Tenho uma pequena dúvida na primeira questão, quando um conjunto possui elementos entre chaves significa que é um subconjunto? Se a reposta for negativa,como classificar um subconjunto?
    Obrigada aguardo resposta…


    1. Oi Bruna, no caso da questão n° 1, {2} e {1,2} são elementos do conjunto A, eles pertencem ao conjunto. São visíveis. Os estudantes confundem muito isso. Veja o que você escreveu “…quando um conjunto possui elementos entre chaves significa que é um subconjunto…”

      Você já está dizendo que são elementos do conjunto. Se um conjunto possui elementos entre chaves, ora quer dizer que são elementos. No conjunto A os elementos são os que aparecem. Já os subconjuntos são outros, um total de oito.

      Estude a resolução da questão e atente para as definições de subconjunto e elemento. Veja também a teoria relacionada a subconjuntos. Abraço.


  19. Valeu! Me ajudou muito esses exercícios.


    1. Facilitou as minhas as atividades no meu curso de física..muito bom.


  20. ñ entendi nada desse exercicio poxa eu quero ajuda


  21. Caro colega Thieres, na primeira questão gostaria de tirar uma duvida, como o {1,2} não foram especificados anteriormente como forma de elemento, e ja apareceu como forma de subconjunto, ele não cairia no mesmo caso do {2}, que também não apareceu, mas vc considerou como subconjunto de imediato. Pra mim, ficou quase o mesmo caso. Logico que não sou expert em matemática, mas ta bem parecido. Obrigado pelo trabalho que vc faz…Aprender nunk é demais.


    1. Wan, leia novamente a resolução do exercício, explicamos sua dúvida. Como sugestão, estude também sobre relação de pertinência num conjunto e sobre subconjuntos de um conjunto. Um Abraço!


      1. Professor, acertei quase todos, mas errei uma kkkk Adorei! :)


        1. Parabéns. Continue firme. Sucesso!


      2. Cara, pelo amor de Odin… Na questão 1, {2} e {1,2} são subconjuntos de A, então o símbolo correto a ser usado seria o “Está contido”. Então desculpe te informar, mas essa questão tá mal elaborada. I, III e IV estão certas.


        1. Vitor, estude antes relação de pertinência em conjuntos, bem como subconjuntos de um conjunto. Depois estude a resolução novamente. Primeiro devemos compreender a diferença entre um elemento do conjunto e um subconjunto desse conjunto. Abraço.


  22. Foi facil para mim! Mas eu acho que deveriam colocar questoes mais dificeis, mas mesmo assim, esta otimo!


    1. Obrigado, Zuciane, por comentar. No blog temos exercícios para todos os níveis. Tudo de bom!


  23. muito bom. Mas poderia tirar algumas questões de concursos para resolver.


    1. Wagner, as questões acima são de concursos. Caso esteja procurando por algo específico é só pesquisar no blog, ok? Abraço!


  24. Muito bom e fundamental super explicativo !!!


  25. Muito bom este exercício.Gostei bastante pois tirou as minhas duvidas.


    1. Obrigado por comentar Camila!


  26. Fazia horas que eu estava procurando um exercício de revisão para minha prova amanhã e ainda bem que achei este site que realmente me ajudou muito. Excelente material!


    1. Obrigado por participar Yasmim! Sucesso!


  27. Boa Tarde. De 5 exercícios, acertei 3. Agora verificar os erros e estudar mais um pouco. Obrigado pela ajuda.


  28. Boa tarde
    Na questão 5, utilizei outro raciocínio e cheguei na mesma resposta.
    está errado esse segmento?

    Eu quero saber A interseção B
    Se dos 15, 10 não utilizam o B, logo 5 usam B.
    Se dos 15, 2 não utilizam o A, logo 13 usam A.
    E eu tenho AuB= 15.
    Pois no enunciado é claro a questão dos 15 eles usam ao menos um produto.

    n(AuB)= n(B)+n(A)-n(A interseção B) substituindo
    15 = 5 + 13 – n(A interseção B)
    n(A interseção B) = 18 – 15
    n(A interseção B) = 3


    1. Oi Paula, seu raciocínio está correto. A única diferença entre a nossa solução é que você deixou para subtrair o pessoal da interseção ao final. Veja, quando você diz que “5 usam B”, dentre esses 5 há também o pessoal que usa ambos (A e B), isto é, estão sendo contados duas vezes, mas ao final, você faz a subtração utilizando uma fórmula muito comum em conjuntos. Veja que na nossa solução, falamos em “só A” ou “só B”, estamos afirmando que os elementos pertencem a somente um conjunto, já retirando a interseção. Espero que tenha compreendido a diferença. Muito obrigado por acrescentar sua solução. Tudo de bom!


  29. em matérias exatas o que, fundamentalmente, pode-se deduzir é inferir no raciocinar pensado e pensar no raciocinando, então, assim podemos rapidamente à conclusão de onde queremos chegar.


  30. errei apenas a última, tentei pelo digrama de Venn Euller, e me enrolei.
    mas é sempre assim, aprendemos com nossos erros.


    1. É isso aí Torreias7. É permitido errar, não há nenhum pecado nisso, ok? Sucesso!


  31. estes problemas me ajudaram bastante
    Sao todos bons
    Obg!!!


    1. Que bom Maria Eduarda. Obrigado por comentar!


  32. Excelente material! Parabéns e obrigado


    1. Muito obrigado Ana Lúcia. Tudo de bom!


  33. Estes problemas estão me ajudando DEMAIS! Parabéns Professor Thieres! Me esclareceu todas as dúvidas que eu tinha nesse conteúdo!! Um grande abraço!!


    1. Eu que agradeço por esse comentário Antonio Carlos, tenha um ótimo estudo. Sucesso!


  34. Os exercícios são ótimos! Entendi tudo,pensei que fosse complicado mas Não é.Parabéns professor Thieres


    1. Valeu Mariana, que bom que compreendeu os exercícios. Continue firme e comente sempre que quiser, ok? Grande abraço!


  35. Parabéns. Excelente material sobre o estudo, as atividades e explicações são ótimas!


    1. Muito obrigado Daniela pela participação. Faça bom aproveito do blog. Sucesso!


  36. Ótimos exercícios, me ajudou muito!


  37. ola,eu não encontrei onde está escrito como fazer espressões numéricas com conjunto(uniao e intercessão)voces podem me responder como fazer, me explicar?


    1. Oi Ana, não entendi sua pergunta. Expressões numéricas trabalham com as operações básicas da Matemática. Pode esclarecer um pouco mais a sua pergunta? Abraço.


  38. ola, no exercício 2 na resposta certa não deveria se encaixar o numero 5??


    1. Izabele, não entendi sua dúvida muito bem, pode dar mais detalhes? Estude a resolução novamente, por favor. Abraço.


  39. Estou adorando seus exercício, principalmente os comentados de concursos.Continue assim!


    1. Fica tranquilo Bastos que vamos continuar sim. Obrigado por acompanhar o blog e continue comentado sobre o que você acha, ok? Abraço.


  40. Gostei da série de exercícios, porém deveria ter mais, pois quanto mais melhor.


  41. Seus exercícios comentados estão me ajudando muito, estão muito bem explicados passo a passo. Obrigada!


    1. Patrícia,
      nós é que agradecemos a sua visita e seu comentário. É muito bom saber que estamos ajudando :-) Abração.


  42. Estes problemas estão me ajudando muito, consigo tirar minhas duvidas tranquila.Maravilhoso..Continue professor me enviando, estas matérias.
    O seu trabalho é excelente..Parabéns e continue ajudando a todos.


    1. Ana,
      fico ficamos felizes com este comentário. Muito obrigado! Continue comentando, ok? Abraço e tudo de bom.


  43. Parabens Professor, continue enviando exercicios para mim. Sao otimos, e as suas explicacoes melhores ainda. Belo trabalho. Fique com Deus.


    1. Diego,
      é muito bom saber que estamos ajudando :-) Obrigado pelos elogios. Continue comentando, ok? Sucesso.


  44. EXECÍCIOS OTÍMO PRINCIPALMENTE PARA QUEM TEM PROBLEMAS COM MATEMÁTICA BEM SIMPLIFICADO,CONTEUDO MUITO BOM.PARÁBENS POR MAIS ESTE TRABALHO PROFESSOR THIERES MACHADO.


    1. Rafael,
      valeu pelo comentário. Nos ajuda muito, pra mantermos na direção certa, isto é, ajudar de forma eficaz e eficiente a todos que chegam no blog. Continue comentando, ok? Abraço.


  45. Agradeço a atenção em manter-me informado e atualizado com o envio do material; tenho procurado usar o material para orientar minha filha que está no 7º ano. Estamos iniciando sobre Número Racional ( um pouco confuso, mas vamos chegar lá).

    Obrigado.


    1. Walkirio,
      nós é que agradecemos seu comentário. Dúvidas sobre os artigos do blog, fique a vontade pra comentar. Sucesso com a aprendizagem de sua filha, que ela supere e aprenda com todos os obstáculos. Abraço.


  46. Estes problemas estão me ajudando muito,pois na realidade nem tudo é mostrado em sala d aula,assim incapacitando o aluno no conhecimento.Estou amando recebe-los.


    1. Jessica,
      é isso mesmo, nem tudo é mostrado em sala de aula e as vezes o que é mostrado é básico demais. Agradecemos seu comentário e ficamos satisfeitos em saber que estamos ajudando. Fique a vontade pra comentar, ok? Tudo de bom.

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