Exercícios de Máximo Divisor Comum para Concursos

Exercícios para concursos sobre MDC é a terceira parte da aula sobre máximo divisor comum.

Nesta terceira parte você verá diversos problemas onde aplicamos os métodos de cálculo para determinar o MDC, aprendidos nas partes anteriores.

As questões em sua maioria já apareceram em algum concurso público, procuramos abordar problemas que mostram as diversas aplicabilidade do assunto.

A primeira questão é clássica, muito simples e fácil de ser encontrada na maioria dos livros é uma questão para compreender como aplicamos o conceito de mdc na resolução de problemas do cotidiano.

A segunda, terceira e quarta questão possuem um pouco mais de “tempero”, isto é, requerem mais interpretação. Para solucioná-las será necessário compreender de fato a definição de mdc. Já a quinta questão, requer o conhecimento de um dos métodos para o cálculo do mdc.

Antes de ver as soluções procure resolver o problema, assim sua aprendizagem e entendimento da solução será melhor e pode ter certeza, vai poupar mais tempo. Não somente veja as respostas, estude as soluções apresentadas! 😉

Caso ainda não tenha estudado as outras partes ou não sabe como calcular o mdc entre dois ou mais números, clique nos links abaixo.

Como calcular o mdc parte 1

Como calcular o mdc parte 2

Enunciados das Questões

1. Três fios que medem respectivamente 24m, 84m e 90m foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então cada pedaço deve medir:

A) 4m

B) 6m

C) 14m

D) 15m

2. Dispomos de 7 varas de ferro de 6 m de comprimento; 12 varas de ferro de 9,6 m de comprimento e 13 varas de ferro de 12 m de comprimento. Desejando-se fabricar vigotas para laje pré-moldada, deve-se cortar as varas em “pedaços” de mesmo tamanho e maior possível, sabendo também que para a construção de cada vigota são necessários 3 “pedaços” . Nessas condições, quantas vigotas obteríamos?

A) 96

B) 32

C) 87

D) 56

3. Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar?

A) 33

B) 48

C) 75

D) 99

E) 165

4. Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 de copaíba para plantar em uma região de sua fazenda. Considere que, para o plantio, as mudas tenham sido repartidas entre os empregados da fazenda, de forma que todos os empregados tenham recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a mesma quantidade de mudas de copaíba e que nenhuma muda tenha sobrado.

Afirmação: nessa situação, é correto afirmar que o número máximo de empregados da fazenda é 4.

Julgue a afirmação acima em certa ou errada.

5. O MDC de dois números A e B é 2x.33.54.7. Sendo A = 2x.34.5z.7 e B = 26.3y.55.7, então o valor do produto x.y.z é

A) 20

B) 80

C) 60

D) 40

E) 11

Soluções das Questões

Para você entender de fato as soluções será necessário estar por dentro da teoria sobre o cálculo do mdc, veja as partes 1 e 2 caso não tenha estudado ainda.

Parte 1

Parte 2

Também procurar compreender cada enunciado, ou seja, saber o que o problema deseja, verificar se tem todas as informações necessárias no enunciado ou se terá que descobrir algo antes que lhe ajudará na solução.

Procure também verificar a solução encontrada, isto é, se o resultado condiz com o enunciado do problema para evitar erros absurdos.

Para todas as soluções apresentadas, fizemos uso do método da decomposição em fatores primos, pois verificamos que para as questões propostas, estes foram mais eficazes.

Exceto a questão de número 5, para todas as demais você pode utilizar o processo que melhor lhe parecer para o cálculo do mdc.

A soluções estão logo abaixo.

Questão 1

O enunciado diz que os fios devem ser cortados no maior tamanho possível. Ora, cortar os fios é o mesmo que dividi-los, certo? Então, temos que dividir os fios no maior tamanho possível e que estes sejam do mesmo tamanho, portanto o máximo divisor comum vai nos fornecer esta medida. Vejamos:

Calculando o mdc entre 24, 84 e 90. Você pode escolher qualquer um dos métodos, por decomposição ou por divisões sucessivas. Aqui, procedemos pelo método da decomposição em fatores primos.

Se não sabe decompor um número em fatores primos clique aqui.

24 = 23 x 3

84 = 22 x 3 x 7

90 = 2 x 32 x 5

mdc(24, 84, 90) = 2 x 3 = 6.

Logo, cada pedaço deve medir 6m. Observe que 6 é um divisor comum de 24, 84 e 90 mas, o maior desses divisores atendendo o enunciado da pergunta.

Questão 2

Primeiro precisamos saber esse tamanho máximo de cada pedaço de ferro.

Como na questão anterior, vamos utilizar o mdc, pois temos que cortar (dividir) em mesmo tamanho e maior possível.

Mas antes observe que temos uma medida em valor decimal, 9,6 m. Vamos, portanto, converter esta medida e as demais para decímetro, assim teremos todos os números inteiros, pois também aprendemos a calcular o mdc somente de números inteiros positivos.

9,6m = 96dm; 6m = 60dm; 12m = 120dm.

96 = 25 x 3

60 = 22 x 3 x 5

120 = 23 x 3 x 5

Logo, mdc(60,96,120) = 22 x 3 = 12

Cada pedaço de vara deverá medir 12dm = 1,2m.

Agora, determinaremos o total de pedaços.

Para a medida de 6m, teremos 6/1,2 = 5 pedaços.

Para a medida de 9,6m, teremos 9,6/1,2 = 8 pedaços.

Para a medida de 12m, teremos 12/1,2 = 10 pedaços.

Mas, devemos lembrar que temos 7 varas de 6m, 12 varas de 9,6m e 13 varas de 12m, portanto o total de pedaços será de: 7×5 + 12×8 + 13×10 = 261.

Como para a construção de cada vigota temos que usar três pedaços de ferro, poderemos construir 261/3 = 87 vigotas.

Questão 3

Observe que o auxiliar deseja usar a menor quantidade de gavetas possível, neste caso ele deve colocar a maior quantidade possível de frascos nas gavetas, certo? Mas, também terá que ser na mesma quantidade para todas as gavetas, veja que novamente o conceito de mdc entra na resolução deste problema.

Ao pensar em usar a menor quantidade de gavetas possível, tens que colocar a maior quantidade de frascos e que ainda seja na mesma quantidade em cada gaveta!

Calculando o mdc (120,150,225). Fatorando, temos:

120 = 23 x 3 x 5

150 = 2 x 3 x 52

225 = 32 x 52

Logo, o mdc(120,150,225) = 3 x 5 = 15.

Veja, 15 é o maior número que divide 120, 150 e 225, portanto cada gaveta terá 15 frascos, isto é, o maior número possível para que a quantidade de gavetas seja mínima.

Calculando a quantidade de gavetas.

120/15 = 8; 150/15 = 10 e 225/15 =15.

Para o medicamento com 120 frascos será necessário 8 gavetas, para o medicamento com 150 frascos, 10 gavetas e para o terceiro tipo com 225 frascos, 15 gavetas.

Totalizando uma quantidade mínima de 33 gavetas.

Questão 4

Para este problema devemos julgar a afirmação em certa ou errada e para isso precisamos fazer alguns cálculos. A afirmação é a de que o número máximo de empregados é 4, percebe-se que o número de funcionários deve ser um divisor de 180 e 84, pois os funcionários receberam a mesma quantidade de ambas as mudas.

O que esse problema tem haver com mdc?

É o seguinte: descobrindo o maior número que divide 180 e 84, estamos descobrindo a quantidade máxima de funcionários para os quais as mudam podem ser repartidas igualmente. Veja como!

Calculando o mdc(84,180).

180 = 22 x 32 x 5

84 = 22 x 3 x 7

mdc(84,180) = 22 x 3 = 12.

Logo, 12 é o maior número que divide 180 e 84, então o número máximo de funcionários pode ser 12 (180/12 = 15 e 84/12 = 7), não que 4 não seja um divisor, mas ele, não é o máximo. Veja na divisão acima que cada funcionário receberia 15 e 7 mudas, só exemplificando!

Portanto, a afirmação está errada.

Questão 5

Bem, para resolver este problema você deve conhecer o método da decomposição em fatores primos para a determinação do mdc. Veja a parte 1 sobre mdc.

Lembrando-se do método: decompõe em fatores primos, em seguida, multiplicam-se os fatores primos comuns cada um deles elevados ao menor de seus expoentes.

O problema diz que

A = 2x.34.5z.7

B = 26.3y.55.7 e

mdc(A,B) = 2x.33.54.7

Frisando um pouco mais: “os fatores comuns elevados ao menor dos expoentes.”

Os números A e B já estão decompostos em fatores primos. Continuando!

O número dois é fator comum no mdc e, portanto deve ter o menor expoente segundo a regra, logo x pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, pois em B temos 26.

Para y, veja que três também é um fator comum, no mdc o fator com menor expoente foi o 33, em A temos 34, logo y só pode ser igual a 3 (segundo a regra!).

Agora o z, o fator comum é 5, no mdc temos 54 (menor expoente) em B temos 55, portanto z só pode ser igual a 4 (menor expoente).

Já temos definidos y = 3, z = 4. E quanto a x?

Observe que o problema não pede o valor de x e sim de um produto x.y.z, como temos já definidos y e z, vamos substituir no produto.

x.3.4 = x.12.

Preste atenção em algo que nos ajuda a solucionar o problema sem determinar o valor de x:

o produto procurado deve ser um número múltiplo de 12 (pois, x.12), agora olhamos para as alternativas e procuramos os múltiplos de 12. 😉

Veja que o único múltiplo de 12 é 60, portanto o produto x.y.z = 60.

Novamente, chamamos a atenção para o fato de que não foi necessário descobrir o valor de x para solucionar o problema, já que o enunciado pede o valor do produto e não das incógnitas.

Conclusão

Com estes problemas terminamos a série mdc para concursos. Claro que mais a frente poderemos publicar mais questões sobre. Caso tenha sentido dificuldade, volte e estude toda a série, veja que esta foi dividida em três aulas.

Agora, que você já praticou com o MDC, é hora de aprender sobre o Mínimo Múltiplo Comum – MMC

Como Calcular o MMC

As duas primeiras, ensinam como calcular o mdc e a terceira mostra a aplicabilidade e como este assunto é abordado em concursos. Para um melhor entendimento da terceira parte, é bom que estude as duas primeiras.

Para terminar, desejo que esta série seja útil na conquista de seus objetivos e caso tenha ficado com dúvidas comente!

Um abraço e tudo de bom! 🙂

22 Comentários


  1. Pareciam difíceis mas não, requer muita interpretação e atenção .obrigada

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      1. Ai Professor Thieres muito obrigado pela didática passada, pelo site organizado e sem anúncios pela disposição do seu tempo de forma gratuita, fazendo um trabalho muito bom, com questões bem elaboradas e explicadas !!!! Parabéns e sucesso semana que vem estou em mais um concurso e com certeza vou mais preparado.
        Obrigado e até!

        Responder

        1. Fala Guilherme, tudo bem? Muuuuito obrigado pelas belas palavras, amigão! Procuramos sempre apresentar o melhor conteúdo, da melhor forma para ajudar a galera ao máximo. Desejamos sucesso com o concurso. Forte Abraço e conte conosco!

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      1. Cara, eu imagino que ele tenha passado para diâmetros para poder realizar o MDC, já que com 9,6 não dá, então ele passou todos os valores pra diâmetros(Multiplicando por 10) e aí fez o MDC, e quando ele teve o resultado em diâmetros ele passou pra metros de novo (Dividiu por 10) e aí ”matou” a questão.

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      2. Por favor, estude a resolução da questão novamente. Abraço!

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  2. a 3 é fácil só somar tudo o resultado vc divide pelo maior valor que dê o menor resultado .

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  3. olha Thieres por que quando eu digito minimo divisor comum sempre tem máximo divisor comum por gentileza sana essa dúvida?

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    1. Roberto, pensa um pouco mais, você é inteligente meu camarada. Não faz muito sentindo procuramos pelo menor divisor comum de dois ou mais números naturais, neste caso, sempre será o 1 (um) o menor divisor. Se é que entendi sua pergunta. Abraço!

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    2. Por que ou voce procura por mínimo múltiplo comum – mmc – ou por máximo divisor comum – mdc – Voce está misturando os conceitos meu caro.

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  4. Ola, Thierres.
    Muito bom seu site, ensina de maneira clara!
    Estou com dúvida apenas na terceira questão, como chegar ao múltiplo de 12? Como identifico que esse valor é “60”?!

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    1. Tatiane, acho que a questão que você se refere é a 5°, certo?

      60 é múltiplo de 12, porque é divisível exatamente por 12 (60/12 = 5). Portanto, existe um número que ao ser multiplicado por 12 dá 60 (12×5 = 60). Veja os múltiplos de 12: {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …}. Se ainda tiver dúvida comente. Abraço.

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  5. Olá, muito bom o material, parabens. Muito didático. Tive dificuldades no exercício 2, não soube que tinha que fazer a transformação de Metros p/ dm. Depois olhei a resolução e o refiz duas vezes, este me deu maior dor de cabeça e trabalho, agora tudo em paz. Tenho dificuldades em interpretação na identificação dos exercícios quando são MMC e MDC, estou praticando vários exercício, lendo também diversos artigos, mais a minha dificuldade ainda não consegui vencê-la. O que faço para tentar saná-la?
    Abraços

    Responder

    1. Phillipe, nessa questão, tranformamos tudo para dm, pois há uma medida decimal (9,6m) dessa forma ficaria complicado calcular o mdc, no cálculo do mdc, utilizamos números naturais, por isso a tranformação.

      Para identificar um problema onde você vai usar mdc ou mmc é necessário antes dominar cálculos e entender o que é um e outro. Nos artigos sobre esses temas, dou dicas de como identificar, sempre explicando na resolução do problema, os pontos chaves para tal.

      Lembre-se; um tem a ver com divisão (mdc) o outro com multiplicação, múltiplos (mmc). Pratique, refaça os exercícios novamente, olha para a resoluções e atente para o raciocínio utilizado, sempre explicamos como chegamos a tais conclusões em cada problema. Veja também se não tem dificuldade em outras áreas de Matemática, que são básicas para esse assunto. Abraço.

      Responder

  6. olá Thieres Machado! muito boa as suas explicações, queria saber como faço pra identificar se a questão pede o MMC ou o MDC? agradeço a atenção!

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    1. José Weverton,

      em cada solução dos exercícios, explicamos passo a passo como aplicar o mdc. Agora, estude o mmc veja os exercícios de mmc, pois ao dominar os dois conceitos vai saber qual aplicar nos exercícios. Tem que praticar bastante, mas preste atenção em nossas resoluções, pois mostramos como chegar na aplicação.

      Responder

  7. Olá, gostaria de parabenizar pelo site, tenho estudao e feito muitos exercicios por este site.

    Porém, estou com dúvidas nas questões 1a e 3a, errei ambas, devido ter seguido a questão do menor expoente e vi q não foi usado nas duas situações.

    Obrigada…Shirley.

    Responder

    1. Shirley,

      obrigado pela seu tempo e por reconhecer nosso trabalho.

      Com relação a sua dúvida, não entendi. Está com dúvida nas questões 1 e 3?

      De qualquer modo usamos o conceito de MDC nas duas questões, muito simples. Por favor, dê uma olhada nos artigos que indicamos antes de resolver os exercícios.

      Explique com mais detalhes sua dúvida para que eu possa te ajudar.

      Abraço.

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  8. Boa tarde, já faz alguns meses que estou estudando para concurso prefeituras, e só tenho usado a internet. Já pesquisei vários sites e hoje encontrei este, muito bom. Muito bem explicado e consegui fazer a maioria dos exercícios. Obrigada, por enquanto, estou muito satisfeita!!!!

    Responder

    1. Patricia,

      muito obrigado pelos elogios. Melhor ainda sabendo que você é uma pesquisadora e analisou nosso material de modo positivo. Esse é nosso objetivo, disponibilizar conteúdo que faça a diferença para quem precisa.

      Muito obrigado e sucesso.

      Responder

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