Exercícios de Proporções para Concursos

Exercitar é algo primordial para aqueles que desejam fixar o conteúdo de Matemática, portanto o blog Cálculo Básico disponibiliza mais uma lista de exercícios.

São exercícios de proporções para concursos. As questões envolvem diversos problemas de concursos anteriores, todas comentadas passo a passo para uma melhor aprendizagem.

Veja logo abaixo e se prepare com qualidade treinando o suficiente.

Os exercícios de proporções para concursos que seguem logo abaixo são questões anteriores de concursos envolvendo os assuntos razões e proporção.

Sugiro que antes de começar a realizar os exercícios abaixo, dê uma olhada nos exercícios dos links a seguir, vai ajudar a melhorar sua aprendizagem.

Exercícios de sistema de unidades de medidas

Exercícios de razões

Bem, mas antes de sair fazendo os exercícios leia abaixo um pouco sobre proporção e aprenda mais sobre suas propriedades. Você ficará por dentro de:

– o que é uma proporção;

– as principais propriedades para serem aplicadas em concursos;

– como interpretar problemas envolvendo proporção.

Proporção e Propriedades

De modo simples e direto uma proporção é uma igualdade de duas razões (equivalentes).

Exemplo: as razões 1/5 e 2/10 são equivalentes, logo formam uma proporção. Indicamos de dois modos:

\frac{1}{5} = \frac{2}{{10}}

1:5 :: 2:10

Vamos fazer uso de letras para apresentarmos as principais propriedades de proporção que serão usadas nas resoluções do exercícios abaixo. Lembre-se que as letras substituem os números.

Principais Propriedades

Os números a, b, c, d, não-nulos são os termos que formam uma proporção quando

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

“a está para b, assim como c está para d”.

a e d são chamados de extremos da proporção.

b e c são chamados de meios da proporção.

1º propriedade: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \times d = b \times c.

2º propriedade: em toda proporção a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

\frac{{a \pm c}}{{b \pm d}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}

Usamos esta propriedade no problema 2 para três razões. Verifique!

3º propriedade:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{{a \pm b}}{{a{\rm{ ou b}}}} = \frac{{c \pm d}}{{c{\rm{ ou d}}}} \cdot

Usamos esta propriedade pelo menos nos problemas um e três.

Agora que você já conhece as propriedades principais, veja os exercícios abaixo. Tendo dúvida fique a vontade para comentar! :-)

Enunciados dos Exercícios

1. Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos?

A) 600

B) 1.000

C) 1.500

D) 1.600

E) 1.800

2. A soma das idades de um pai, de um filho e de um neto é de 105 anos. Sabendo-se que a idade do pai está para 8, assim como a do filho está para 5 e a do neto está para 2, a idade, em anos, de cada um é, respectivamente:

A) 66, 29, 10

B) 62, 31, 12

C) 56, 37, 12

D) 56, 35, 14

E) 58, 38, 9

3. Dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em R$ 25.000,00, então a soma desses capitais é de:

A) R$ 75.000,00

B) R$ 40.000,00

C) R$ 65.000,00

D) R$ 60.000,00

E) R$ 55.000,00

4. Um certo metal é obtido, fundido-se 15 partes de cobre com 6 partes de zinco. Para obter-se 136,5 kg desse metal, são necessários:

A) 97,5 kg de cobre

B) 45 kg de zinco

C) 92 kg de cobre

D) 41,5 kg de zinco

E) 91,8 kg de cobre

5. Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos são fabricados diluindo em água um concentrado desta fruta. As proporções são de uma parte de concentrado para três partes de água, no caso do suco e, de uma parte de concentrado para seis de água no caso do refresco. O refresco também poderia ser fabricado diluindo x partes de suco em y partes de água, se a razão x / y fosse igual a:

A) 1/2

B) 3/4

C) 1

D) 4/3

E) 2

Soluções dos Exercícios

Exercício 1

Sejam E e C o número de funcionários efetivos e contratados, respectivamente. O problema diz que a empresa possui 2.100 funcionários, podemos escrever

E + C = 2.100

A relação entre o número de efetivos e contratados é de 5 por 2, então

E/C = 5/2

“E está para C, assim como 5 está para 2” e assim podemos utilizar a seguinte propriedade de proporção:

\frac{\sf E}{\sf C}=\frac{\sf 5}{\sf 2}\Leftrightarrow \frac{\sf E+C}{\sf E}=\frac{\sf 5+2}{\sf 5}\cdot\

\frac{\sf E+C}{\sf E}=\frac{\sf 5+2}{\sf 5}\Leftrightarrow \frac{\sf 2100}{\sf E}=\frac{\sf 7}{\sf 5}\Leftrightarrow\

\Leftrightarrow {\sf 7E=10500}\Leftrightarrow {\sf E=1500.}\

Logo, a empresa tem 1.500 funcionários efetivos.

Observação: é possível resolver este problema utilizando sistema de equações do 1º grau, com as equações E + C = 2.100 e E/C = 5/2. Não apresentamos este modo aqui, pois estamos dando ênfase nas proporções. Verifique você mesmo, tendo dúvida comente.

Exercício 2

Sejam P, F e N as idades do pai, do filho e do neto, respectivamente. Vamos anotar a primeira informação do problema que diz que a soma das idades é 105.

P + F + N = 105.

A próxima informação diz o seguinte:

P/8 = F/5 = N/2

“A idade do pai está para 8, assim como a idade do filho está para 5, assim como a do neto está para 2.

Temos então uma proporção! Podemos usar a propriedade que diz que “ a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente”. Vejamos.

\frac{P}{8} = \frac{F}{5} = \frac{N}{2} = \frac{{P + F + N}}{{8 + 5 + 2}} \cdot

\frac{P}{8} = \frac{F}{5} = \frac{N}{2} = \frac{{105}}{{15}} \Leftrightarrow \frac{P}{8} = \frac{F}{5} = \frac{N}{2} = 7.

Da última relação acima temos que

P/8 = 7, então P = 56.

F/5 = 7, então F = 35.

N/2 = 7, então N = 14.

As idades do pai, do filho e do neto são, respectivamente, 56, 35 e 14 anos.

Exercício 3

Aqui vamos chamar de X o valor do capital maior e Y o valor do capital menor. De acordo com o enunciado, X está para Y assim como, 8 está para 3.

X/Y = 8/3.

O problema ainda enuncia que o maior excede o menor em R$ 25.000,00. Podemos escrever então que o valor do maior é igual ao menor mais 25.000.

X = Y + 25.000.

Então X – Y = 25.000.

Para resolver o problema podemos utilizar a mesma propriedade utilizada na questão 1 (um), porém usando a subtração. Veja.

\frac{X}{Y} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow \frac{{X - Y}}{X} = \frac{{8 - 3}}{8} \cdot

\frac{{X - Y}}{X} = \frac{{8 - 3}}{8} \to \frac{{25.000}}{X} = \frac{5}{8} \Leftrightarrow X = 40.000.

Y = 40.000 – 25.000 = 15.000.

Como X = 40.000 e Y = 15.000, temos que a soma dos capitais é de R$ 55.000,00.

Exercício 4

Bem, vamos definir como C a quantidade em kg de cobre e Z a quantidade em kg de zinco, que serão usadas na fabricação do metal.

A razão da fabricação do metal é de 15 partes de cobre para 6 partes de zinco. Logo, escrevemos

15/6 = C/Z

Isto é, as razões devem estar na mesma proporção. Desejamos fabricar 136,5 kg do metal, ou seja, a quantidade de cobre utilizada mais a quantidade de zinco deve ser igual 136,5 kg. Escrevemos, então

C + Z = 136,5.

Novamente, vamos usar a propriedade de proporção.

\frac{{15}}{6} = \frac{C}{Z} \Leftrightarrow \frac{{15 + 6}}{{15}} = \frac{{C + Z}}{C} \cdot

\frac{{15 + 6}}{{15}} = \frac{{C + Z}}{C} \to \frac{{21}}{{15}} = \frac{{136,5}}{C} \Leftrightarrow 21C = 2047,5 \Leftrightarrow C = 97,5.

Logo, a quantidade de cobre é de 97,5 kg.

Observe que poderíamos ter calculado primeiro a quantidade zinco e assim não verificando em nenhuma das alternativas a resposta, seria necessário calcular o quantidade de cobre.

Exercício 5

O suco é feito de uma parte de concentrado e três partes de água, escrevemos então a razão em que o suco é feito como 1/3. No total são 4 (1 + 3) partes, “o volume”.

Já o refresco é feito de uma parte de concentrado e seis partes de água. Temos a seguinte razão 1/6. No total são 7 (1 + 6) partes, “o volume”.

Mas, o problema diz que o refresco pode ser fabricado a partir do suco. Para fabricar o refresco, precisamos de 7 partes (uma de concentrado e seis de água).

O suco é formado de 4 partes, então x = 4. Mas nas partes de fabricação do suco já temos uma de concentrado (necessária para o refresco) e três partes de água, não suficiente para completar o refresco, cuja quantidade de partes de água é seis.

Então, devemos acrescentar mais três partes de água ao suco, pois três partes de água do suco mais três partes de água acrescentadas, será igual a seis partes de água necessárias para a fabricação do refresco.

Portanto, temos

x = 4 (total de partes do suco)

y = 3 (partes de água a serem acescentadas)

Refresco = suco + água

Refresco = (1 concentrado + 3 água) + (3 água) = 1 concentrado + 6 água.

Então, a razão x/y = 4/3.

Outra forma:

Podemos trabalhar, neste problema, com valores.

Vamos supor que temos uma quantidade de 100 ml de suco. De acordo com o enunciado o suco é feito na razão de 1/3 (4 partes). Dividindo 100 ml por 4, obtemos 25 ml, isto é 25 ml de concentrado e 75 ml de água.

Suco = (25 ml de concentrado) + (75 ml de água).

O refresco é feito na razão 1/6 (7 partes). Fabricaremos então um total de 7×25 = 175 ml de onde

Refresco = (25 ml de concentrado) + (150 ml de água).

Agora, vamos fabricar o refresco a partir do suco.

No suco temos um total de 100 ml, onde 25 ml é de concentrado e 75 ml é de água mas, para fabricar o refresco precisaremos de mais 75 ml de água para dar um total de 150 ml de água, o concentrado já temos no suco. Portanto,

x = 100 ml (partes de suco)

y = 75 ml (parte de água acrescentada)

Refresco = suco + água

Refresco = (25ml de concentrado + 75 ml de água) + (75 ml de água “acrescentada”)

Refresco = 25 ml concentrado + 150 ml de água = 175 ml.

A razão x/y = (100ml)/(75ml), simplificando x/y = 4/3.

Conclusão

Termina aqui mais uma série de exercícios comentados no blog. O estudo das proporções não se faz sem antes ter o domínio de conteúdos básicos como, por exemplo, razões. Para avançar nos estudos veja também o artigo Divisão em partes diretamente proporcionais.

Caso tenha sentido muita dificuldade nos exercícios acima, procure rever a parte teórica mais uma vez e a solução apresentada de cada questão.

Depois volte e faça os problemas novamente. Aprender determinado assunto em Matemática é assim mesmo, tem que praticar bastante e constantemente.

Tenha força! Conte com o blog Cálculo Básico!

Algum comentário sobre o assunto?

Tenha certeza que farei o possível para responder e esclarecer quaisquer dúvidas, é só comentar logo abaixo!

Tenha um ótimo estudo! :-)

53 Comentários


  1. Onde encontro as resoluções??


  2. Boa noite Prof.

    Estou muito confusa com as 4 formas da propriedade de adição/subtração.

    Por que para cada formula tem duas opções? Só inverte a ordem?


    1. Opa Bianca, como vai?

      A ordem é importante sim, mas se você está confusa é porque não compreendeu, ainda.

      Estude novamente procurando compreender o que significa soma (diferença) entre antecedentes e consequentes.

      Estude os exercícios resolvidos comparando a propriedade usada.

      Se ainda ficar confusa, volte aqui e pergunte, ok?

      Abraço!


      1. Vou estudar mais! Obrigada por me responder sempre. E parabéns mais uma vez pelo excelente trabalho. Sucesso.


        1. Que isso, Bianca. Disponha, é sempre um prazer ajudar. Conte conosco! Grande abraço!


  3. Olá. Na questão número 1 você fala que 2.100/E = 7/5. Por que não pode igualar o E a 5?


    1. Opa Maria Eduarda, tudo bem?

      Veja que a fração 2100/E não está na forma irredutível (simplificada), por isso, que o valor de E é 1500, pois simplificando 2100/1500, obtemos 7/5.

      As frações 2100/1500 e 7/5 são equivalentes, mas antes, descobrimos o valor de E para simplificar e chegar à 7/5.

      Enfim, não podemos igualar E a 5, porque a fração 2100/E não está na forma irredutível e observe também que se igualarmos E a 5, as frações deixam de ser iguais (equivalentes).

      Qualquer outra dúvida, comente. Abraço


      1. Obrigada pela ajuda. Entendi tudo, um abraço!!


        1. Oi Maria, como vai?

          É ótimo saber que entendeu tudo. Quando precisar, é só voltar aqui, ok?

          Conte conosco. Abraço :)


  4. Gostei muito das explicações, vai ajudar principalmente aqueles que não tem condições financeiras de pagar cursinhos para disputar vagas com os filhinhos da classe média e rica desse pais injusto . Parabéns pela iniciativa, o novo povo precisa de pessoas assim como você. Abraços, Mônica.


    1. Valeu Monica. Visite sempre que precisar. Sucesso!


  5. Amigo Thieres Machado tive complicações em entender a questão 1.
    Pois no calculo que o senhor fez de E/C= 2/5 => E+C/E => 2+5/5= 7/5; resultando no final de todo o calculo 1.500.
    Nessa parte em que você colocou E=5, sendo que não deveria ser o certo E=2?
    Tendo o resultado final de todo o calculo 600.
    Espero que tenha entendido minha pergunta, estou ansioso pela sua resposta.


    1. Wolmer os valores de E ou C não são esses, essa é só uma relação de proporção, ok? Mas, já arrumei. Inverti a ordem para que fique como você disse. Abraço.


    2. 500 efetivo
      200 contratado
      =700.
      quando e esse tipo de questao sobre razao eu sempre multipico por 100 pra facilitar, mas existem outras formas de fazer, essa eu acho mais facil.

      o problema diz 2100 total entao divide 2100 por 700 =3
      multiplica-se o 500 por 3 igual a 1500 efetivos

      200 contratadosx3 = 600 contratados.
      1500E+ 600C = 2100


  6. Parabéns, conteúdo bem explicado. Ótimo trabalho.


  7. Olá professor gostei muito dos exercícios, porém, não entendi a questão de numero 5, como chegou-se a conclusão de que a razão em que o suco é feito é de 1/3?


    1. Priscila, essa informação está logo no início do problema e também explicamos na resolução. Leia de novo, por favor, com mais atenção. E se ainda tiver dúvida comente. Abraço.


  8. Questões de fácil entendimento e estão bem atualizadas. gostei bastante vou aplicar à minhas turmas de 2º ano.


  9. Muito boas professor! Obrigado pelas questões e explicações. Rumo ao CNMP!


  10. muito bom faço curso de tecnico em serviços juridicos sempre gostei de ser o primeiro mais quando chegou matematico me ferro.


    1. Obrigado pelo elogio Edieno. Abraço.


  11. Muitíssimo obrigado pelos exercícios postado.tirei algumas dúvidas em propoção na matemática. valeuuu..


    1. Nelson, valeu pelo comentário. Abraço.


  12. Ola Professor minha duvida é podemos usar qualquer propriedade citadas a cima em qualquer questão ? Belo trabalho e Obrigado.


    1. Paulo, não podemos generalizar tanto. Cada questão é um caso que deve ser analisado. Nesse artigo, citamos apenas as propriedades que usamos com mais frequência, mas existem muito mais, ok? Abraço.


  13. Olá professor, gostei das dicas.
    Mas não entendi muito bem a propriedade utilizada no segundo exercício. Como eu obtenho o número 07?
    Grata.


    1. Talita, leia a parte teórica logo acima dos enunciados e atente para a questão 2 novamente. Refaça a questão olhando a resolução. Veja que o valor 7 é resultado da divisão de 105 por 15. Persistindo a dúvida, comente. Abraço.


    2. Seguinte , um consideração temos p/8 =f/5= n/2 P= pai F= Filho N= Neto Ok considere a seguinte afirmação p/8 igual a k fica assim p/8=k passa o 8 multiplicando fica p=8k faça o mesmo com as duas restantes . Ficara assim p=8k F= 5k N= 2k Se p+f+n= 105 logo 8k+5k+2k= 105
      15k=105
      k=105/15 = k=7

      k
      com valor de k so fazer um tabelinha p 8 x 7 | 56 Pai 56+35+14=105
      f 5 x 7 | 35 Filho Prova Real Ok bjo
      n 2 x 7 | 14 Neto


  14. Olá professor, eu estava indo bem até a questão 2, mais quando chegou à 3 eu achei com facilidade até a parte dos 40.000 e marquei equivocadamente logo de cara letra B). Com mais atenção eu saberia que são diferidas por 25.ooo e acharia 15.000 que não é nenhuma das letras (o valor de 15.000 não é uma alternativa). Logo eu não teria dúvida que a alternativa seria a B e marcaria confiantemente. Mais eu vi que erraria devido a correta ser a D) mais não compreendi como chegastes a 55.000 , poderia me explicar mais detalhadamente? Desde já Obrigado!


    1. Daniel,
      se compreendi bem sua dúvida, você quer saber como chegamos a 55000. Espero que tenha entendido o raciocínio anterior. Observe que X = 40.000 e Y = 15.000 e o problema quer saber a soma dos capitais (X e Y), então 40.000 + 15.000 = 55.000. Abraço.


      1. Entendi professor, talvez tenha sido o modo como eu fiz o cálculo que me complicou. E mais uma pergunta…


        1. Nas questões de proporções quando possível resolver pela regra de três, podemos resolve-las diretamente ou sempre temos que analisar se são diretamente ou inversamente proporcionais?
          Ou na proporção ela sempre se apresenta na forma dir. prop.? Parabéns pelo blog.


          1. Daniel,
            os exercícios acima referem-se somente ao conteúdo de proporção, não se trata de analisar se são diret. proporcionais ou invers. Leia o início do artigo para compreender do que se trata uma proporção. Claro que em outros exercícios você deve analisar, cada caso é um caso. Estes exercícios servem de embasamento para os exercícios envolvendo grandezas diret. proporcionais ou invers. Abraço.


  15. gostei muito dos exercicios. mas so consigo resolver sem usar as formulas, calculo quebrando a cabeca mesmo.


    1. Elete,
      fórmulas ajudam, mas não são o único caminho. Dependendo do problema, podemos conseguir resolver mais rápido (concursos). É bom aprender a usá-las, mas de todo modo, aprender as propriedades do conteúdo é mais importante. Abraço.


  16. Professor gostei muito de sua explicação parabéns.
    Mas minha dúvida é tem alguma regra prática para eu saber logo de cara qual propriedade usar na questão?


    1. Francisco,
      muito obrigado. Com a prática de exercícios sobre o tema, chegará um momento em que você vai ter em mente qual propriedade. Basicamente, em grande parte dos problemas, você usa uma ou duas propriedades, mais as que listei no artigo. Abraço.


  17. Olá professor, parabéns pelo trabalho !


    1. Keila,
      muito obrigado. Tudo de bom.


  18. Professor, por favor me explique de onde surgiu no início da primeira questão esse 2+5 que veio de E+C ( no caso de onde vem esse 2? ) desde já obrigado!


    1. Daniel,
      por acaso você leu o artigo completo?
      O 2 vem do enunciado do problema. A soma 2 + 5 não vem de E + C. Neste caso, estamos utilizando a 3º propriedade enunciada logo acima, como soma, poderíamos também utilizar a diferença (veja resolução exercício 3), mas com a soma é mais conveniente.

      Pesquise um pouco mais sobre o uso dessa propriedade, neste artigo não aprofundamos tanto, pois fugiria do foco que é a prática e não uma abordagem tanto teórica, por isso deixamos somente indicado as propriedades.

      Abraço.


  19. muito bem explicado as questoes,bem compreensivel.


    1. Amauri,

      que bom que seu estudo foi produtivo. Obrigado pela visita e comentário, qualquer dúvida, comente.

      Tudo de bom.


  20. Gostei muito do canteudo, porem eu tenho muita dificuldade em saber qual operaço usar , mais saiba que mim ajudou muito


    1. Elivania,

      que bom que gostou. Sobre sua dúvida, detalhe um pouco mais, por favor.

      Abraço.


  21. professor vc poderia mim explicar como interpretar uma questão ou um problema de matemática?? amei seu site:)


    1. Maysa,

      isso envolve algumas etapas, um processo. Vou lhe dar algumas dicas, pois na verdade o ideal seria um curso preparado para tal finalidade. Veja:

      Em primeiro lugar, você tem que dominar o assunto envolvido no problema. Por exemplo, suponha que temos um problema que você logo identifica que vai precisar fazer uma divisão, então é importante antes saber dividir.

      Muito estudantes na verdade não tem dificuldade com a interpretação da questão em si, a dificuldade vem em saber qual assunto de Matemática utilizar na resolução e como utilizá-lo. E muitos aprenderam e aprendem mal estes assuntos na escola.

      Como resolver um problema se, não sei nem a matéria que o problema envolve e muito menos aplicá-la na resolução? Eis a questão!

      Por isso que aqui no blog cálculo Básico, resolvo as questões passo a passo. Sugiro que antes de tentar resolver o problema, estude a matéria por partes, aprenda uma coisa de cada vez, pratique bastante e só depois procure os problemas que envolvem muitos conteúdos na resolução.

      Por exemplo, um problema de MDC envolve saber multiplicação, divisão, fatoração e boa leitura.

      Sugiro ler o seguinte artigo: Programa de estudo eficaz em Matemática

      Continue acompanhando o blog que em breve teremos novidades, estamos para iniciar uma nova etapa no blog onde com certeza abordaremos este tema, interpretação, com mais profundidade porque sabemos a dificuldade dos estudantes com relação a isso.

      Valeu pela visita e comentário.
      Tudo de bom!


  22. Os exercícios são ótimos
    obrigada.me ajudou muito.
    Que Deus continue te abençoando.


    1. Vanessa,

      muito obrigado pelos elogios. :-)

      Valeu pela visita. Tudo de bom.


      1. Parabens professor voce foi bem seletivo nas questoes .Resolvi todas so que percorri um caminho mais curto .


        1. Obrigado Marilene! Agradecemos também caso queira compartilhar o caminho mais curto que percorreu. Abraço.

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