Divisão em Partes Diretamente Proporcionais (fundamental para concursos)

Divisão em partes diretamente proporcionais é um assunto tão comum em concursos, provas e pouco abordado em nossas escolas que resolvemos preparar este artigo para lhe ajudar nesta maratona.

A divisão proporcional se divide basicamente em duas: divisão em partes diretamente proporcionais e divisão em partes inversamente proporcionais.

Logo abaixo, faremos uma abordagem teórica sobre a divisão em partes diretamente proporcionais, utilizando para isso exemplos de situações do cotidiano.

Num outro artigo, abordaremos o outro tema, divisão em partes inversamente proporcionais.

Atenção para o fato de que os chamados problemas de regra de sociedade estão dentro deste assunto. Envolvem divisão de lucros, prejuízos, gratificações, participações de lucro, bonificações em geral, tudo isso ocorrendo em uma empresa.

Continue lendo para ficar por dentro de:

  • Como identificar problemas que envolvem divisão em partes diretamente proporcionais.
  • Como aplicar.
  • Exercícios resolvidos.

Divisão em Partes Diretamente Proporcionais (o mais importante!)

Vamos iniciar com uma abordagem através de um exemplo do cotidiano.

Exemplo: três amigos Arnaldo, Bernaldo e Cernalda ganharam um prêmio no valor de R$ 160,00. Arnaldo entrou com R$ 2,00, Bernaldo R$ 3,00 e Cernalda R$ 5,00. Como deve ser feita a partilha do valor ganho?

Divisão em partes diretamente proporcionais

Ora, uma maneira justa de realizar esta partilha é dividindo o prêmio em partes diretamente proporcionais ao que cada um entrou ou contribuiu.

Mas, como é essa tal de divisão em partes diretamente proporcionais ao que cada entrou?

Simples, cada um vai ter sua parte de ganho, vamos chamar de a, b, c. E ganha mais, aquele que mais contribuiu.

Quando dizemos que as partes serão diretamente proporcionais ao que cada um entrou (2, 3, 5) devemos ter o seguinte:

a/2 = b/3 = c/5.

Veja, as razões (a/2, b/3 e c/5) devem ser iguais e ainda, a + b + c = 160.

Mas, para que as razões sejam iguais e a soma das partes dê 160, deve existir um número, vamos chamar de k, que feito o produto (multiplicação) dele (k) pelo valor que cada um entrou (2, 3, 5) obtenha as respectivas partes do prêmio que cabe a cada um (a, b, c). Isto é,

a = k.2

b = k.3

c = k.5

Esse número k é comumente chamado de constante de proporcionalidade.

Observe, as sequências (a, b, c) e (2, 3, 5) devem apresentar razões iguais.

a/2 = b/3 = c/5 = k

Como a + b + c = 160 e a = 2k, b = 3k e c = 5k, substituindo vem

2k + 3k + 5k = 160, então 10k = 160 e k = 16.

a = 2.16 = 32, b = 3.16 = 48 e c = 5.16 = 80.

Arnaldo ganha R$  32,00, Bernaldo R$ 48,00 e Cernalda R$ 80,00. Observe que Cernalda que entrou com um valor maior, neste tipo de divisão, ganhou mais.

De modo geral, para que duas sequências, por exemplo, S1: (a, b, c) e S2: (x, y, z) onde os elementos são positivos, sejam diretamente proporcionais, devemos ter

a/x = b/y = c/z, isto é, as razões S1/S2 são iguais e existe um número constante real não nulo k, tal que:

a = k.x

b = k.y

c = k.z

Agora, vamos resolver o mesmo exemplo, de um outro modo. Entretanto, sugerimos antes a leitura de dois artigos para uma melhor aprendizagem:

Exercícios de Razões e Exercícios de proporções.

Faremos uso da propriedade de proporção:

a soma de todos os antecedentes está para a soma de todos os consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente.

Veja:

a/2 = b/3 = c/5

Aplicando a propriedade acima,

\displaystyle \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{2+3+5}\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=\frac{160}{10}=16.

Observe, que de acordo com a resolução anterior, já encontramos o valor de k. Continuando,

a/2 = 16, então a = 32.

b/3 = 16, então b = 48.

c/5 = 16, então c = 80.

Conclusão

Em essência os dois métodos são a mesma coisa, o que muda é o caminho. mas é bom que se conheça os dois, pode haver necessidade de aplicar um ou outro, ou seja, pode haver problemas em que a resolução seja “mais fácil” por um determinado método.

Claro que você deve seguir seu próprio caminho, apresentar sua resolução a seu modo e a que for mais simples para seu entendimento.

Mas, caso você queira se aprofundar neste assunto com mais exercícios, veja o artigo exercícios de divisão em partes diretamente proporcionais, onde apresentamos diversas questões de concursos, todas resolvidas.

Continue acompanhando o blog, que em breve publicaremos artigos sobre divisão em partes inversamente proporcionais.

Forte abraço! 🙂

13 Comentários


  1. Pensei assim: os 3 juntos deram 10,00. A deu 20% (2,00), B deu 30% (3,00) e C deu 50% (5,00)
    Então,
    A receberá: 160 x 0,2 = 32,00
    B receberá: 160 x 0,3 = 48,00
    C receberá: 160 x 0,5 = 80,00

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  2. No texto diz:

    a/2 = b/3 = c/5.

    Veja, as razões (a/2, b/3 e c/3) devem ser iguais e ainda, a + b + c = 160.

    Está correto isso?

    Não seria a/2, b/3 e c/5 ?

    Muito obrigado

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      1. “Veja, as razões (a/2, b/3 e c/3) devem ser iguais” Como seria possível que elas fossem iguais? Com certeza não são iguais, se não seria a/2 a/3 a/3… E na própria resolução se vc substituir ali a,b e c representam números diferentes… Por isso não consigo entender essa primeira forma de solucionar e somente a segunda que faz sentido a explicação.

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        1. Olá Gabernio,

          vejo que você ainda está com dúvida sobre a definição de proporção. Estude novamente a resolução e depois, substitua os valores encontrados para a, b e c na proporção. E pesquise um pouco mais sobre proporção seguindo as dicas desse artigo, conforme os links disponibilizados ao longo do artigo.

          Abraço!

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  3. Resolvi da seguinte forma e cheguei ao mesmo resultado.

    1º Dividi 160 por 10 ou seja terei 10 partes de 16
    2º Fiz uma proporção com as partes, Arnaldo- 2 / Bernaldo- 3 / Cernalda – 5
    3º Peguei cada proporção e multiplique pelo números de partes de cada um.
    Ex: Arnaldo- 2.16=32 / Bernaldo- 3.16=48 / Cernalda- 5.16=80
    Cheguei ao mesmo resultado, agora estou com uma dúvida..
    Qual a margem de erro que pode acontecer aplicando essa fórmula em outras questões, ela me da 100% de certeza em outros problemas .

    No aguardo do contato de sua parte !

    Muito obrigado o Blog está muito Show !

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    1. Anderson, o que você fez foi exatamente o que está na resolução que apresentamos (verifique!). Você só não definiu incógnitas explicitamente. Abraço!

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  4. Eu achei muito interessante o conteúdo e o modo como foi explicado. Estudo para concursos e preciso de explicações como estas. Vou estar sempre ligado neste blog.
    CAMAR MEIRELES GONÇALVES
    PA_ Tucuruí

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  5. Estão de parabéns! Muito bom o conteúdo e muito bem explicado, continue com esse excelente trabalho.

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    1. Valeu Leandro. Pode deixar que vamos continuar sim. Grande abraço!

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  6. Muito obrigado,vocês estão me ajudando muito.Estou aprendendo e tirando varias duvidas.Não fiz o ensino médio e estou estudando para tirar o certificado de conclusão pelo ENEM.

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    1. Luciene, nós é que agradecemos por sua visita e comentário. Continue firme em seu objetivo que logo será alcançando, ok? Sucesso sempre!

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