Como Calcular o Máximo Divisor Comum – parte 1

Image a seguinte situação: em uma empresa há 18 engenheiros e 12 administradores. O diretor precisa formar grupos só de engenheiros ou só de administradores, com a mesma quantidade de profissionais e usando a maior quantidade possível. Quantos profissionais terá cada grupo? Quantos grupos de engenheiros podem ser formados?

Por sorte o diretor sabia trabalhar bem com divisores e soube então resolver todas as perguntas acima. E você, sabe?

Problemas como o apresentado acima são comuns em concursos onde o raciocínio lógico quantitativo é cobrado. Portanto, prossiga a leitura e aprenda a resolver questões como a que foi proposta para o diretor e outras mais, fazendo uso do máximo divisor comum o mdc.

A aula sobre máximo divisor comum (mdc) será divida em três partes (posts), nesta primeira parte aprenderemos o conceito de mdc e o primeiro método para determiná-lo entre dois ou mais números naturais.

De modo geral, os objetivos da aula sobre mdc são:

  • Relembrar o conceito de divisor de um número natural;
  • Determinar o maior divisor comum de dois ou mais números naturais;
  • Entender os dois principais métodos para determinar o mdc entre dois ou mais números naturais;
  • Máximo divisor comum e questões de concursos.

Máximo Divisor Comum

Máximo – significa maior.

Divisor – que divide exatamente, isto é, deixa resto zero na divisão.

Comum – simultaneamente, ao mesmo tempo.

Portanto, o maior número que divide dois ou mais números naturais simultaneamente é chamado de máximo divisor comum, o mdc.

Exemplo 1: qual o mdc entre 8 e 12?

Divisores de 8 = { 1, 2, 4 e 8 }.

Divisores de 12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }.

Divisores comuns a 8 e 12 = 1, 2 e 4.

Maior divisor dos comum = é 4. Portanto, o mdc (8, 12) = 4.

Para 8 e 12 foi muito fácil encontrar os divisores de cada um! 🙂

Imagine se fossem números maiores, por exemplo, 96 , 108 e 132?

Muito tempo seria necessário para determinar os divisores de cada um e sem falar que poderíamos esquecer algum. Por isso, vamos agora aprender o primerio método para determinar o mdc.

Primeiro Processo Prático para Determinação do MDC

Por decomposição em fatores primos

Regra: decompõe-se os números em fatores primos, em seguida, multiplicam-se os fatores primos comuns cada um deles elevados ao menor de seus expoentes.

Exemplo 2: determine o mdc de 96, 108 e 132?

Resolução: vamos decompor os números acima em fatores primos.

Para saber como decompor um número em fatores primos clique aqui.

image

Temos então o seguinte:

96 = 25.3

108 = 22.33

132 = 22.3.11

Os fatores primos comuns são: 2 e 3.

Dos fatores primos comuns os de menores expoentes são: 22 e 3.

Portanto, o mdc (96,108,132) = 22.3 = 4.3 = 12.

Observe que temos dois fatores 3 e dois fatores 22, para o cálculo do mdc, basta considerar somente um de cada e o fator 11 não é comum a 96 e 108, logo não será considerando para o cálculo.

Bem, antes de prosseguir vamos ver mais um exemplo, certo? Ok!

Exemplo 3: determine o mdc entre 120 e 300.

Resolução: decompondo em fatores primos os números acima.

image12

120 = 23.3.5

300 = 22.3.52

Os fatores primos comuns são: 2, 3 e 5. “todo mundo!”

Dos fatores primos comuns os de menores expoentes são: 22, 3 e 5.

Logo, o mdc (120, 300) = 22.3.5 = 4.3.5 = 60.

Agora, baseando-se nos dois exemplos acima, resolva as questões abaixo. 🙂

1. Qual o mdc (32, 48)?

A) 12

B) 16

C) 18

D) 32

2. Qual o mdc (28, 70, 84)?

A) 18

B) 16

C) 14

D) 7

3. Determine o mdc de X, Y e Z, sendo

X = 25 x 52 x 7          Y = 2 x 34 x 53 x 72                 Z = 23 x 32 x 54 x 7

A) 350

B) 3704

C) 3500

D) 5334

Conclusão

Nesta aula aprendemos a determinar o maior divisor comum entre dois ou mais naturais pelo método da decomposição em fatores primos. Aprendemos também o conceito de divisor de um número natural.

O mdc tem grande utilidade na prática, sendo que é a base para outros ramos da Matemática, geralmente em concursos públicos, as questões que envolvem mdc são voltadas para a aplicabilidade.

Nas próximas aulas veremos:

– um segundo método para determinar o mdc entre dois ou mais números;

Como calcular o mdc – parte 2

– mdc e questões de concursos.

Exercícios de mdc para concursos

Aqui está o gabarito dos exercícios acima: 1.B, 2.C e 3.A.

Até a próxima parte da aula e bom estudo! 🙂

75 Comentários


  1. Obrigada! Consegui relembrar e, da forma como foi explicado, não vou mais esquecer.

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    1. M D C de dois ou mais números: Um dos divisores do menor número é o MDC entre eles. Isso facilita o aprendizado.

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  2. Boa noite Prof!

    Estou com uma dúvida no segundo exercício, os primos são 2, 7.
    Os primos de menor expoente são 2², 7.
    Então o M.D.C não seria: 2²*7=4*7= 28???

    Responder

    1. Estude novamente o conteúdo da aula para esclarecer sua dúvida. Abraço!

      Responder

  3. Muito didático, direto, objetivo e sem enrolação.
    show de aulas.
    Parabéns

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    1. Oi Solange, muito obrigado por comentar. Esse feedback é muito importante para nós, pois nosso objetivo é ensinar Matemática de maneira simples e direta. Que bom que entendeu. Abraço!

      Responder

    1. Tudo bem, Bia? Obrigado por participar. Aproveite sempre que precisar. Sucesso!

      Responder

  4. gostei muito da sua explicação.explicação fácil de entender obrigada

    Responder

      1. Ola professor ,primeiramente quero parabenizar o blog tem me ajudado muito , agora tenho uma dúvida na 3° questão a minha resposta deu 150 , e agora fiquei com dúvida porque o resultado é 350?

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        1. Amanda, está tudo certo com a questão e a resposta. Para chegar a resposta correta, basta aplicar a regra explicada no artigo, aliás, essa questão é bem mais simples que as demais, pois os números X, Y e Z já estão fatorados. Siga a regra. Abraço!

          Responder

  5. Muito boa sua explicação depois de muita busca, esta é unica explicação completa.

    Responder

    1. Que legal Cris. Ficamos felizes que encontrou a ajuda que precisava. Conte conosco, comente sempre que quiser, ok? Abraço!

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    1. agora já pode procurar o professor de português. =,)
      entretanto,legal a aula dele =]

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      1. Mais como é que eu sei se e pra botar o numerous nao entendi direitinho? ?????

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    1. Muito boa a explicação professor. Só não consegui resolver o 3 exercício

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      1. Obrigado Jéssica. Tendo dúvidas é só perguntar, ok? Abraço.

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    1. Ane, para te ajudar, precisamos saber qual é a sua dúvida, ok? Abraço.

      Responder

      1. Acho que a duvida é como calcular o mdc sem ser só com imagens como vc mostrou e sim fazendo mesmo pra isso é preciso um professor particular ou professor youtuber

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  6. Professor olha o primeiro exemplo, no inicio que fala sobre os 18 engenheiro s e 12 administradores. Na hora do cálculo MDC (18 e 48) o número aparece 8. Não seria o MDC de 18 no primeiro exemplo?

    Muito bom o material, feliz demais com a sua disposição que muitas das vezes não os conhece, que Deus o abençoe.

    Responder

    1. Phillipe, se entendi seu comentário, você se refere ao problema apresentado na introdução do artigo, certo? Então, deve-se calcular o mdc(18,12). Não resolvemos este problema no artigo acima, só colocamos para o leitor pensar na aplicabilidade do mdc, ok? Abraço.

      Responder

    1. Anna, disponha sempre! Obrigado pela visita e comentário. Abraço.

      Responder

  7. Vou falar para a minha professora de matemática entra nesse site é muito bom me ajudou muito

    Responder

  8. Valeu mesmo apena é um assunto novo para mim pois estou no 6 ano mais já me ajudou muito em uma atividade muito obrigada!!!

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    1. Que bom Ane! Sucesso nos estudos e visite o blog sempre que precisar, ok? Abraço.

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      1. ok vou entrar sempre que precisar aposto que me darei muito bem nas provas

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  9. Obrigado professor pelas as explicações, eu tinha uma dúvida e acabei superando. Continua sempre a dar o seu contributo para o melhor da ciência. Boa sorte nos seus a fazeres.

    Responder

    1. Celestino, obrigado a você pelo retorno. Aproveite sempre que precisar o blog, comente, ok? Abraço.

      Responder

      1. Olha eu estou muito grata porque eu estou no 6 ano e a sua explicação foi muito satisfatória obrigado mesmo só que vou ter que reler mais algumas coisas que vc publicou pra poder entender um pouco mais

        Responder

  10. Gostei muito de suas explicações detalhadas, pois já tinha até esquecido como encontrar o mdc e vc me lembrou no momento certo, que Deus lhe acompanhe sempre, e serei sua seguidora no blog, para tirar dúvidas, um forte abraço e até a proxima.

    Responder

    1. Muito obrigado Nereida pelo comentário. Fico feliz em saber que estamos ajudando. Continue a comentar sua experiência no blog, ok? Tudo de bom.

      Responder

    1. João Pedro,
      nós é que agradecemos pela sua visita e comentário. Tudo de bom.

      Responder

  11. Professor,

    Em alguns casos o mdc pode ser encontrado fatorando os números em questão ao mesmo tempo .

    exemplo;

    36,48

    Responder

    1. Gabriel,

      sim, você pode fatorar os números ao mesmo tempo e seguir o restante da regra. Só tem que separar os fatores comuns com cuidado.
      Abraço.

      Responder

    1. Enzo,

      que isso meu camarada, disponha sempre! Valeu pela visita!

      Abraço.

      Responder

  12. Muito obrigado pela explicação, meu filho de 11 esta com dificuldade em matemática 6 ano,tô tirando as dúvidas, através de seus exercicios.

    Um abraço!

    Responder

    1. Rosangela,

      que bom que o blog esteja ajudando na educação básica de seu filho. Apesar de que todo material aqui é voltado para a Matemática de concursos, mas com muitos exemplos resolvidos aqui, acreditamos que ajudam em muito.

      Qualquer dúvida, comente.

      Abração.

      Responder

  13. Não tinha aprendido este método para resolver o mdc ainda, é muito simples resolver desta maneira.
    obgdo =)

    Responder

    1. Paulo,

      sim, é um método simples e necessário na resolução de alguns problemas, pois necessita da decomposição em fatores primos. Fico feliz por ter aprendido e verificado a simplicidade.

      Um abraço e obrigado pelo comentário! 🙂

      Responder

    1. Cleide,

      acompanhe o blog que em breve postaremos as outras partes. Obrigado e abraço!

      Responder

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