Questões Resolvidas para Aprendizes-Marinheiros 2013 – parte 3

A prova para Aprendizes-Marinheiros 2013 está chegando, portanto é o momento de resolver as provas anteriores, aproveite então e veja abaixo a terceira parte da prova de Matemática do ano de 2012 resolvida. Nesta terceira parte, você vai encontrar questões abordando outros assuntos do programa de Matemática, também resolvemos todas, minunciosamente. Com esta terceira parte, completamos a resolução da referida prova acima.

Os conteúdos necessários para esta etapa são:

– Resolução de quações irracionais;

– Regra de três simples;

– Área do círculo e suas partes;

– Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal;

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Produtos notáveis, fatoração e simplificação de frações algébricas.

Para ver todas as questões resolvidas, clique nos links abaixo.

Parte 1 e parte 2.

No final do artigo fornecemos mais opções de provas resolvidas para Aprendizes-Marinheiros, lembre-se de da uma olhada. Agora veja os enunciados das questões logo abaixo.

Enunciados das Questões

1. A solução da equação irracional abaixo \sqrt {1 + 4x}  + x - 1 = 0 é:

A) {0}

B) {6}

C) {0,4}

D) {0,5}

E) {0,6}

2. Se seis  torneiras iguais enchem um tanque em 420 minutos, em quantos minutos dez torneiras iguais às anteriores enchem esse tanque?

A) 240

B) 245

C) 250

D) 252

E) 260

3. A figura abaixo representa duas circunferências concêntricas.

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Sendo o raio da menor igual a 2cm e o raio da maior igual a 0,4dm, quanto mede a área da coroa circular sombreada?

A) 12pcm2

B) 15pcm2

C) 17pcm2

D) 19pcm2

E) 21pcm2

4. Duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal t, formando, no mesmo plano, dois ângulo obtusos alternos internos que medem x/2 + 30° e 3x/5 + 15°. Então o suplemento de um desses ângulos mede:

A) 75º

B) 80º

C) 82º

D) 85º

E) 88º

5. Na equação

\frac{{{{(a + b)}^2} - a - b}}{{{a^2} + ab - a}} = 3,

sendo a e b números reais não nulos, o valor de a/b é

A) 0,8

B) 0,7

C) 0,5

D) 0,4

E) 0,3

Soluções das Questões

Questão 1

Bem, temos uma equação irracional e nosso desafio é trabalhar o termo irracional, isto é, a raiz quadrada que aparece de modo a encontrar a solução.

Primeiro, vamos isolar o termo irracional em um membro da equação, ficando assim:

\sqrt {1 + 4x}  + x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 + 4x}  = 1 - x \Leftrightarrow

Segundo, vamos “eliminar” o radical, ou seja, vamos elevar ambos os membros da 2ª equação ao quadrado, pois temos uma raiz quadrada.

 \Leftrightarrow {({\rm{ }}\sqrt {1 + 4x} {\rm{ )}}^2}{\rm{  =  (1  -  x }}{{\rm{)}}^2}{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}1 + 4x = 1 - 2x + {x^2} \Leftrightarrow

Acima, simplificamos o radical e desenvolvemos o 2º membro.

Terceiro, trabalhando a equação:

 \Leftrightarrow {\rm{ }}1 + 4x = 1 - 2x + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 6x = 0.

Quarto, chegamos a uma equação do 2° grau e há duas formas de resolvê-la, sendo uma pela fórmula e a outra colocando os termos comuns em evidência. Vamos resolver colocando o termo comum em evidência, por ser mais rápido.

\begin{array}{l}<br />
{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x.(x - 6) = 0 \Leftrightarrow \\<br />
x = 0{\rm{ ou }}\\<br />
x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 6.<br />
\end{array}

Veja que encontramos para solução x = 0 ou x = 6, mas lá no segundo passo, ao elevarmos ambos os membros ao quadrado, a equação obtida tem, em geral, raízes estranhas à equação original, portanto vamos verificar as soluções encontradas.

Para x = 0, temos

\sqrt {1 + 4.0}  + 0 - 1 = 0.{\rm{ verdade}}

Para x = 6, temos

\sqrt {1 + 4.6}  + 6 - 1 = 0.{\rm{ falso}}

Observe que para x = 6 a igualdade acima não satisfeita (verifique!), a igualdade na equação só é satisfeita para x = 0, logo a solução da equação é {0}.

Questão 2

Este problema pode ser resolvida por uma regra de três simples inversa, vejamos:

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As grandezas quantidade de torneiras e tempo são inversamente proporcionais, pois se aumentamos a quantidade de torneiras, fica claro que o tempo para encher o tanque diminuirá, portanto ao estabelecer a proporção devemos inverter uma das razões da proporção. Vamos inverter a razão que contenha a incógnita t, o tempo pedido:

\frac{6}{{10}} = \frac{t}{{420}} \Leftrightarrow 10.t = 2520 \Leftrightarrow t = 252\min .

Questão 3

Primeiro, vamos converter as unidades de medida para centímetros. No caso, só temos  0,4dm e 0,4dm = 4cm.

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O problema pede a área sombreada (coroa circular). Como temos dois círculos concêntricos (de mesmo centro) cujos raios medem 2cm (menor) e 4cm (maior) é relativamente fácil perceber que a área sombreada é igual área do circulo maior menos a área do círculo menor. Veja:

Área sombreada = (Área círculo maior) – (Área círculo menor)

Área sombreada = pR2pr2

R e r são o raios da circunferências maior e menor, respectivamente.

Área sombreada = p42 – p22 = 16p – 4p = 12pcm2.

Questão 4

Veja abaixo o desenho da situação proposta pelo enunciado do problema, temos os dois ângulos obtusos alternos internos. Precisamos antes determinar o valor de x para saber a medida dos ângulos que será a mesma para os dois, já que são ângulos alternos internos e estes são congruentes (mesma medida).

image

Como ângulos alternos internos (externos) possuem a mesma medida, podemos escrever que

\frac{{3x}}{5} + 15^\circ  = \frac{x}{2} + 30^\circ  \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \frac{{6x + 150^\circ }}{{10}} = \frac{{5x + 300^\circ }}{{10}} \Leftrightarrow 6x - 5x = 300^\circ  - 150^\circ  \Leftrightarrow x = 150^\circ .

Vamos substituir o valor de x encontrada nos ângulos para determinar suas medidas:

\frac{{3.150^\circ }}{5} + 15^\circ  = \frac{{150^\circ }}{2} + 30^\circ  = 105^\circ .

Como dito acima, os ângulos possuem as mesmas medidas.

O suplemento do ângulo de 105° é 180° – 105° = 75°.

Questão 5

Vamos simplificar a expressão, observe os passos abaixo e as explicações.

\frac{{{{(a + b)}^2} - a - b}}{{{a^2} + ab - a}}{\rm{ }}  = \limits_{passo1} {\rm{ }}\frac{{{{(a + b)}^2} - (a + b)}}{{{a^2} + ab - a}}{\rm{ }}  = \limits_{passo2}

{\rm{ =  }}\frac{{(a + b).(a + b - 1)}}{{a.(a + b - 1)}}{\rm{ }}  = \limits_{passo3} {\rm{ }}\frac{{a + b}}{a} = 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{a  +  b  =  3a }} \Leftrightarrow {\rm{ 2a  =  b}}

  \Leftrightarrow \limits_{passo4} {\rm{ }}\frac{{2a}}{b} = \frac{b}{b} \Leftrightarrow \frac{{2a}}{b} = 1 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{2} = 0,5 \cdot

Passo 1: reescrevemos a expressão, colocando o –1 (“sinal de menos”) em evidência na segunda expressão do numerador: – a – b = – ( a + b ).

Passo 2: Fatoramos o numerador e denominador. No numerador, o fator comum é (a + b) e no denominador é o (a), ambos em evidência.

Passo 3: simplificamos, já que temos (a + b – 1) no numerador e denominador e igualamos a 3, pois lembre-se que temos uma equação, em seguida desenvolvemos até chegar a 2a = b.

Passo 4: dividimos ambos os membros da equação por b, já que queremos a/b.

Com esta terceira parte,

terminamos a série Aprendizes-Marinheiros 2013. Para ver mais questões resolvidas acesse os links abaixo.

Aprendiz-Marinheiro 2011

Aprendiz-Marinheiro 2012

Fuzileiro Naval

Tem alguma sugestão? Comente!

Acompanhe o blog, pois em breve vamos começar uma nova série sobre o concurso Banco do Brasil.

Até breve!

2 Comentários


  1. na primeira questão eu não entendi porque seria o resultado {0} , pois se substituir o 6 na equação vai dar 0=0 sim e se substituir o 0 na equação também vai dar 0=0, então a logica seria resultado {0,6}.
    ou estou errado ?

    Responder

    1. David, tem certeza que ao substituir o 6 na equação original vai dar 0? Verifique seus cálculos novamente, ok? Abraço.

      Responder

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